prosdo.ru
добавить свой файл
1 2 3

28) Последовательное соединение R, L, C

При прохождении синусоидаль­ного тока через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, C, создается синусоидальное напряжение, равное по II закону Кирхгофа алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах:





Из тригонометрии известно, что

.



Реактивное сопротивление последовательной RLC – цепи



может принимать следующие значения:

– цепь носит чисто активный характер (в цепи резонанс);

– цепь носит индуктивный характер, т.е.;

– цепь носит емкостный характер, т.е..

Полное сопротивление цепи

;

угол разности фаз

,

 < 0 при емкостном характере цепи (ток опережает напряжение),  > 0 при индуктивном характере цепи (ток отстает по фазе от напряжения),  = 0 при резистивном характере цепи (индуктивное и емкостное сопротивления равны) – такой режим цепи называют резонансом напряжений.

Из выражений и следует, что связь активного и реактивного сопротивления с полным сопротивлением выражается следующими формулами:

, (3.24)

что удобно представлять с помощью треугольника сопротивлений .

Умножив левые и правые части выражений для сопротивлений на действующее значение тока I, получим соответственно действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, которые называют активной и реактивной составляющими напряжения:


Тогда действующее значение суммарного напряжения можно определить как


  1. 29) Параллельное соединение R, L, C


Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L, C, приложено синусоидальное напряжение то по I закону Кирхгофа синусоидальный ток в неразветвленной части равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях где

– совпадает по фазе с напряжением u(t);

 – отстает по фазе от напряжения u(t) на ;

– опережает по фазе напряжение u(t) на .

Просуммируем:



Выражение является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.

Активная проводимость цепи , всегда положительна.

Реактивная проводимость цепи , в зависимости от знака может иметь индуктивный (В > 0) или емкостный (B < 0) характер. Если В = 0, цепь носит активный характер.

Для нахождения и  воспользуемся приемом, приведенным в предыдущем разделе:

, (3.27)

т.е. ток отстает от напряжения на угол .

Здесь – начальная фаза напряжения; – начальная фаза тока; – разность фаз

амплитудное значение тока; полная проводимость цепи – величина, обратная полному сопротивлению ;

– угол разности фаз определяется по оси  в направлении от напряжения к току и является острым или прямым .

– при индуктивном характере цепи, т.е. при B > 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. – при емкостном характере цепи, т.е. при B < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. – при резистивном характере цепи, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей ; при этом ток совпадает по фазе с напряжением. Такой режим работы электрической цепи называют резонансом токов.


Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами

.

Для проводимостей также можно построить треугольник проводимостей.

Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:

.



31) Символический метод расчета.

Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т.д.) изменяется по синусоидальному закону . В прямоугольной системе координат (рис. 3.12) расположим под углом вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде (причем,  > 0, если отсчитывается против часовой стрелки).

Представим себе, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала координат в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте . А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению величины v. Таким образом, между мгновенным значением v(t) и вектором можно установить однозначное соответствие. На этом основании будем называть вектор вектором, изображающим функцию времени, и обозначать . Конечно, эти векторы, имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве (скорость, силу и др.). Поэтому такие изображения функции времени называют символическими.

Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом . Это комплексное число называют комплексной амплитудой.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.


Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы  всех комплексных значений уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называют исходным вектором.

Теоремы символического метода


  1. Об однозначном соответствии символического изображения данной тригонометрической функции: . Это было показано выше: , где .

  2. О линейном преобразовании: если , то , т.е. .

  3. О сумме: если , то . Следствие:

. Следует отметить, что в правой части складываются векторы по правилам векторной алгебры.

  1. О производной: если , а , тогда , т.е. взятие производной во временной области означает умножение вектора на j в комплексной области или поворот вектора на : .

  2. Об интеграле: если , а , то , т.е. интегралу функции во временной области соответствует деление вектора на j в комплексной области или поворот вектора на угол .

Таким образом, символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.

32) Символический метод расчета при последовательном соединении R, L,C элементов.

По II закону Кирхгофа .



На основании теоремы о сумме

,

где комплексное сопротивление цепи.

На основании теоремы Эйлера

. (3.35)

Полное сопротивление равно модулю полного комплексного сопротивления , аргумент полного комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока .

Комплексное сопротивление можно представить в виде

(3.36)

где R – действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением, ;

X – мнимая часть комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением, .

Таким образом, закон Ома в общем виде , где может представлять, в частности, следующее: для сопротивления , для индуктивности , для емкости .

Введем понятие комплексной проводимости . (3.37)

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является ток, вектор тока и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.18).



Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс напряжений, ;

– емкостный режим, .

Угол  (разность начальных фаз напряжения и тока) определяется углом поворота вектора тока к вектору напряжения по кратчайшему пути: если поворот определяется против часовой стрелки, то (отстающий ток), иначе – (опережающий ток). Как видно из приведенных выше формул, характер цепи определяет большее реактивное сопротивление.

33) Символический метод расчета при параллельном соединении R, L,C элементов

Пусть к цепи, состоящей из параллельного соединения R, L, C элементов (рис. 3.19), приложено напряжение , которому соответствует . Определим токи во всех ветвях.


По I закону Кирхгофа мгновенное значение тока

. .

Применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме:

,

,

.

,

где полная комплексная проводимость ;

активная проводимость ;

индуктивная проводимость ;

емкостная проводимость .

На основании формулы Эйлера

. (3.39)

Действительная часть комплексной проводимости , называется активной проводимостью;

мнимая часть комплексной проводимости , называется реактивной проводимостью.

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является напряжение , вектор напряжения и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.20).



Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс токов, ;

– емкостный режим, .

Таким образом, в параллельных ветвях характер цепи определяет большая реактивная проводимость или меньшее реактивное сопротивление.

34) Мощность в комплексной форме

Вспомним, что мгновенная мощность определяется следующим образом:

.

Если принять , тогда из следует, что .

Тогда .

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой.


Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:

(3.49)

Активная мощность всегда положительна.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью

где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока.

Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности S называют вольт-ампер ( ).

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:



Для эффективного использования электрических машин и аппаратов желательно иметь более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т.е. .

Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше : .

При расчетах электрических цепей находит применение реактивная мощность Q:

(3.52)

которая положительна при индуктивном характере цепи ( > 0) и отрицательна при емкостном характере цепи ( < 0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями


. (3.53)

Как следует из формул, для повышения коэффициента мощности приемника нужно уменьшать его реактивную мощность.

В то время, как активная мощность определяет совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии в единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, рассматривают ее как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией (варч), на практике измеряют счетчиками.

Введем понятие комплексной мощности. Для того чтобы получить полную, активную и реактивную мощности из известных комплексов тока и напряжения, используют следующие соотношения

)

Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S:

. Рассмотрим комплексные мощности для различных потребителей:

для активного сопротивления:

для индуктивного сопротивления:

для емкостного сопротивления:




<< предыдущая страница   следующая страница >>