prosdo.ru
добавить свой файл
1
Способы представления программных управлений

Рассмотрим способы представления скалярных и векторных управлений в виде разложения по некоторой системе базовых функций, а также вопросы существования и единственности этих представлений. Приведем необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций и рассмотрим некоторые системы таких функций. А так же рассмотрим случай, когда разложение программного управления по некоторой системе базовых функций не единственно.

§ 1. Критерии линейной независимости скалярных функций

Рассмотрим множество вещественных скалярных функций , суммируемых с квадратом на промежутке .

Определение 1. Говорят, что функции линейно независимы на промежутке , если из условия



при всех , где – вещественные постоянные, вытекает, что .

Введём в рассмотрение и матрицу

, .

Очевидно, что матрица является симметрической и положительно определенной.

Справедливы теоремы :

Теорема 1. Для того чтобы непрерывные функции были линейно независимы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определённой.


Теорема 2. Для того чтобы функции были линейно независимы на промежутке необходимо и достаточно, чтобы существовали точки такие, что постоянные векторы были линейно независимы, то есть являлись базисом в .

Замечание 1. Очевидно, что если матрица является положительно определённой, то любая матрица , где , будет также положительно определённой. Если функции линейно независимы на промежутке , то они также линейно независимы на любом промежутке , где .

§ 2. Критерии линейной независимости векторных функций

Рассмотрим теперь вещественные векторные функции , заданные на промежутке , размерности , .


Определение 3. Говорят, что векторные функции называются линейно независимыми в промежутке , если из условия при всех следует, что все вещественные постоянные .

Введём в рассмотрение матрицу , столбцами которой являются векторные функции , и матрицу

.

Справедливы теоремы :

Теорема 3. Для того чтобы непрерывные векторные функции были линейно независимы на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определённой.

Теорема 4. Для того чтобы векторные функции были линейно независимы в промежутке, необходимо и достаточно, чтобы существовали точки такие, что среди строк (столбцов) матриц было – линейно независимых.


Пусть – матрица размера , элементами которой являются вещественные функции ограниченной вариации заданные на промежутке . Введём матрицу

.

Справедлива теорема :

Теорема 5. Для того чтобы непрерывные функции были линейно независимы в промежутке , необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица , для которой матрица невырожденная.

Замечание 2. Если векторные функции не являются непрерывными, то достаточные условия теоремы 5 остаются в силе, т. е. для линейной независимости этих векторных функций достаточно, чтобы существовала матрица такая, что матрица является невырожденной.

Пример 1. Рассмотрим скалярный случай в качестве иллюстрации того, что необходимые условия теоремы 5 не будут выполняться. Пусть всюду в промежутке кроме точки , . Функции и – линейно независимы в промежутке , но не являются непрерывными. Убедимся, что не существует матрицы такой, что матрица – невырожденная,. Действительно, пусть , тогда


.

Отсюда

,

так как .

Справедлива теорема.

Теорема 6. Для того чтобы векторные функции были линейно независимы в промежутке , необходимо и достаточно, чтобы существовала совокупность каких либо однородных аддитивных операций над этими векторными функциями, чтобы ранг матрицы линейной системы



был в точности равен .

Пример 2. Пусть в промежутке , заданы скалярные функции, имеющие вид и линейные аддитивные операции дифференцирования , тогда систему уравнений можно переписать в виде

.

Очевидно, что определитель матрицы системы равен единице для любого . Таким образом, по теореме 6, скалярные функции линейно независимы в произвольном промежутке .


Пример 3. Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей . Известно, что любое ее решение имеет вид где - экспоненциал матрицы . Обозначим компоненты любого решения этой системы через , т.е. .

Покажем, что линейная независимость векторов , является необходимым и достаточным условием того, что функции являются линейно независимыми в любом промежутке вещественной оси.

Действительно, для некоторого вещественного вектора рассмотрим уравнение . Используя операции дифференцирования, по аналогии с предыдущим примером получим объединенную систему , где - постоянная матрица. Если эта матрица неособенная, то в силу того, что матрица неособенная для произвольного получим, что система имеет единственное решение . Отсюда вытекает, что компоненты вектора являются линейно независимыми функциями.


С другой стороны, если компоненты векторной функции линейно независимы, то векторные функции также линейно независимы. Это вытекает из линейной независимости строк матрицы Вронского (), т.к. из того, что , следует, равенство . Отсюда, в силу линейной независимости компонент вектора имеем . Заметим, что , но тогда . Если - особенная матрица, то существует вещественный вектор , что , но тогда можно написать , что противоречит линейной независимости векторных функций (тому, что матрица - неособенная).

§ 3. Способы представления программных управлений


Пусть вещественные векторные функции размерности , заданные на промежутке , и такие, что. , т.е. эти векторные функции суммируемы с квадратом

.

Будем рассматривать интересующие нас управления , как функции, принадлежащие этому же пространству, т.е. .

Справедлива основная теорема :

Теорема 6. Если векторные функции - непрерывны и линейно независимы на промежутке , то для любой функции справедливо единственное представление

, 

где - постоянные величины, а - произвольная функция, удовлетворяющая условию

. 

Замечание 3. Заметим, что теорема 6 остается в силе, если и матрица - невырожденная. Если же матрица является вырожденной (особенной), т.е. непрерывные векторные функции - линейно зависимы на промежутке или имеют разрывы на этом промежутке, то разложение ,  остается в силе, но уже не будет единственности этого представления.


Действительно, обозначим через матрицу, образованную из матрицы и состоящую из всех линейно независимых строк этой матрицы. Через , обозначим вектор, образованный компонентами вектора



с теми же номерами, что и линейно независимые строки матрицы образующие матрицу . Тогда, считая, что представление ,  имеет место можно выписать укороченное уравнение , :

. 

Будем искать его решение в виде разложения по линейно независимым строкам матрицы

, 

где вектор, ортогональный строкам матрицы , т.е. . Подставляя выражение  в уравнение , получим . Отсюда решение уравнения  имеет вид


. 

Это вытекает из того, что матрица размера () будет положительно определенной и тем самым невырожденной. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что для любого вектора в силу линейной независимости строк матрицы (столбцов матрицы ) выполняется неравенство . Из этого неравенства следует другое неравенство , т.е. матрица является положительно определенной и, следовательно, невырожденной.

Подставляя полученное решение уравнения  в виде  в разложение , получим

, где . 

Очевидно, что справедливо соотношение

. 

Наличие у вектора произвольной ненулевой составляющей , ортогональной к строкам матрицы (), и создает неоднозначность представления , т.к. вектор определен с точностью до вектора , являющегося его слагаемым.


Замечание 4. В дальнейшем, при построении релейно-импульсных управлений, мы покажем другие способы представления искомых управлений через векторные функции . Отметим, что теорема 6 дает критерий существования семейства программных управлений, но не конкретизирует возможности его реализации в том или ином виде.