prosdo.ru 1 2 3



1. Докажите, что если F1(x) и F2(x) первообразные функции f(x) на интервале Х, то F2(x)= F1(x)+c, где с-произвольная постоянная
Пусть F1(x) и F2(x) первообразные функции f(x) на интервале Х ,тогда из определения первообразной F1’(x)=f(x) и F2’(x)=f(x)

(F1(x)+c)’= F1’(x)+c’=f(x)+0=f(x)F2(x)= F1(x)+c ,ч.т.д

2. Докажите, что d(

Исходя из свойства неопределенного интеграла, получаем, что дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно, d(

3. Пусть u(x) и v(x)-2 дифференцируемые функции на промежутке Х.Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям



Доказательство:

d(uv)=udv+vdu

Интегрируем обе части, и по свойству 2 неопределенного интеграла получим:

uv= ,откуда получается исходная формула

4.Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х-множество ее значений, на котором определена f(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на Х, то F(g(t))-первообразная для f(g(t))g’(t) на Т, т.е. на множестве Т выполняется равенство


(1)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

Ft’(g(t))=Fx(g(t))*g’(t)=f(g(t))*g’(t)

Что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства,и это доказывает равенство(1)

5. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a,b], то функция F(x)=дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)

Доказательство



По теореме о среднем найдется точка стакая ,что . Так как f(x) непрерывна и с

Поэтому

6. Пусть F(x) является первообразной для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x). Тогда

Т.к. функция f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на нем и имеет первообразную F(x)=

Подставляя х=а, получим 0=F(a)+c , т.е. с=-F(a) . Тогда


7. Так как f(x) непрерывна на [-a,a], тогда пусть х=g(t) определена на [] и имеет производную внутри этого отрезка, причем g(



Доказательство

Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)

Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) четная на отрезке [a,b], то F(x) нечетна на этом отрезке, т.е. F(-x)=-F(x)

1)рассмотрим =F(0)+F(a)

2) рассмотрим =F(a)+F(0)

Получается, что они равны, ч.т. д

Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)

8. Так как f(x) непрерывна на [-a,a], тогда пусть х=g(t) определена на [] и имеет производную внутри этого отрезка, причем g(




Доказательство

Пусть F(x) – первообразная f(x), тогда F’(x)=f(x) F(g(t))’=F’(g(t))*g’(t)

Пусть и g(

Можно заметить, что если подынтегральная функция f(x) нечетная на отрезке [a,b], то F(x) четная на этом отрезке, т.е. F(-x)=F(x)

1)рассмотрим =F(0)-F(a)

2) рассмотрим =-(F(0)-F(а))

, ч.т. д

Геометрический смысл. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х=а, x=b при a<b, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции y=f(x)
9.
Т.к. ограничена то, предел существует, поэтому интеграл сходится

10.




11. При каких значениях α сходится интеграл ? Ответ обоснуйте.

Интегральный признак сходимости. Пусть члены числового ряда являются значениями неотрицательной непрерывной функции , монотонно убывающей на луче [1;+∞). Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.



При α>1 , следовательно интеграл сходятся.

12. Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте.

Подынтегральная функция имеет единственную особую точку x=1 на отрезке интегрирования [0;1]. Первообразной для данной функции будет , которая непрерывна на этом отрезке. По формуле Ньютона-Лейбница ( ) имеем



Таким образом, данный несобственный интеграл сходится и равен 2.

13. При каких значениях a>0 сходится интеграл ? Ответ обоснуйте.



При 0<a<1, =0, следовательно, интеграл сходится.

14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .


В , где n>3, расстояние между точками определяется формулой



Где, А и В – две произвольные точки из .

Свойства:


  1. , если ;



  2. - «неравенство треугольника»

Доказательства: Первые два свойства очевидным образом следуют из определения расстояния.

1)Область значений функции равна .

2) Дано: , тогда ; . ЧТД

3) Сначала проверим неравенство1:



,где – какие угодно числа. Взяв любое число х, запишем равенство 1:


,где . Очевидно, Квадратный трехчлен , как показывает левая часть равенства 1, неотрицателен при любом значении х. Следовательно, его дискриминант , откуда имеем , или неравенство 2:




Но если возвести в квадрат обе части неравенства 1 и сократить слева и справа равные слагаемые, то получим неравенство 2.

Опираясь на неравенство 1, докажем теперь «неравенство треугольника». Если в неравенстве 1 положим, что , то придем к



, т.е. к «неравенству треугольника» для трех точек p,q,r в .
15. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .

Множество не является открытым, т.к. точка , принадлежит D, но в любой её сколько угодно малой окрестности есть точки, не лежащие в D (например, точки (х,у), для которых .
16. Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество замкнутым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Точка р называется граничной точкой для Х, если любая её окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.


Множество не является закрытым, т.к. точка , не принадлежит D, но в любой её окрестности есть точки, лежащие в D.
17. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .

Множество является открытым, т.к. точки лежит в D.
18. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.

Пусть Х – множество в , точка называется предельной для Х, если в любой Х, отличные от .

А) замкнутый круг:

Б) замкнутый круг без своего центра . В этом случае центр (0,0) и есть та предельная точка, которая не принадлежит самому множеству.

19. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.


Пусть - последовательность точек в . Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке , если числовая последовательность имеет предел 0. Если А – предел последовательности, то говорят, что сходится к точки А.



Поскольку то А=(
20. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К

какой точке в сходится последовательность ? Ответ

обоснуйте.

Пусть - последовательность точек в . Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке , если числовая последовательность имеет придел 0. Если А – предел последовательности, то говорят, что сходится к точки А.


Поскольку =, то А=(

следующая страница >>