prosdo.ru
добавить свой файл
1
Приложения


Пакет прикладных программ1

Приложение 1

Прогноз цены акции на бернуллиевском рынке
Задача ставится следующим образом: Пусть изменение цены акции S от месяца к месяцу происходит согласно рекуррентному соотношению Sn = Sn-1(1 + ), где доходность акции, которая может независимо принимать значения a и b с вероятностями p и (1 - p) соответственно. Полагая начальную цену акции равной S0 необходимо спрогнозировать среднюю цену акции на последующие n месяцев.
Программа делает расчет для прогнозирования цены на бернуллиевском рынке. Входными данными для неё являются:


  1. S0 – цена актива в начальный момент времени;

  2. a и b – значения возможного прироста стоимости актива в процентном отношении, т.е. Si + 1 = Si  (1 + ), где может принимать значения a и b.

  3. p – значение вероятности, с которой цена актива получит прирост стоимости в b раз. Соответственно прирост стоимости актива в a раз произойдёт при значении вероятности (1  p).

  4. n – номер шага по времени, для которого делается прогноз цены актива.


Прогноз строится исходя из свойств условного математического ожидания независимых случайных величин E( Y | X ).

Поскольку мы прогнозируем среднее движение цены, то прогноз было бы логично построить следующим образом:



В случае двухшагового прогноза это будет выглядеть следующим образом:



Приложение 2

Вычисление «эвристической» и «риск-нейтральной» цены опциона на биномиальном рынке
Рассмотрим «одношаговый» биномиальный (B,S)-рынок, на котором стоимость банковского счёта определяется как B1 = B0(1 + r), где r – фиксированная годовая процентная ставка, а цена акции определяется как S1 = S0(1 + ), где доходность акции, которая может независимо принимать значения b и a с вероятностями p и (1 - p) соответственно. Причем величины a, b и должны удовлетворять соотношению –1 < a < r < b. Сделаем стандартное предположение о том, что B0 = 1. На введенном выше рынке рассмотрим финансовый контракт (опцион покупателя), подразумевающий в момент времени N = 1 выплату в размере f1 = (S1K)+ = max(0, S1K), где K – фиксированная заранее цена исполнения контракта, которую для определённости положим равной S0.

«Эвристически» цену контракта можно было бы вычислить следующим образом:



Однако, кроме этой оценки возможно построение минимального хеджа. Т.е. необходимо строить самофинансируемую стратегию 0(0,0), такую что
.

Т.о. вычисляя начальные доли активов из уравнений минимального хеджа, его стартовый капитал определяется из следующего соотношения:

,

где

,

а

.
Кроме того, можно подойти к нахождению справедливой цены платежного обязательства на основе риск-нейтральной вероятности, которая определяется из соотношения

.

Решая это уравнение относительно p*, получим следующее выражение для риск-нейтральной вероятности:

,

которое при предположении B0 = 1 преобразуется к виду

.

Выражение для самой цены записывается в следующем виде:


В предложенной программе реализуются вышеизложенные методы. В качестве входных данных должны вводится:


  1. S0 – цена акции в начальный момент времени;

  2. a и b – значения относительных доходностей акции;

  3. p – вероятность прироста стоимости актива в (1 + b) раз;

  4. r – процентная ставка по банковскому счёту.



В результате работы программы в качестве результата отображаются:

  1. Значения функции выплаты;

  2. Значение «эвристической» цены платежного обязательства;

  3. Начальный капитал минимального хеджа;

  4. Значение риск-нейтральной цены;

  5. Значение риск-нейтральной вероятности.

Приложение 3

Расчет цены опциона покупателя с перерасчетом по паритетной формуле на опцион продавца на рынке Кокса-Росса-Рубинштейна

Рассмотрим задачу вычисления риск-нейтральной цены платежного обязательства на N-шаговой стратегии. Обобщая рассмотренную ранее методологию поиска риск-нейтральной цены на случай многошаговой стратегии получаем классическую формулу Кокса-Росса-Рубинштейна для справедливой цены опциона покупателя:

,

где p*  риск-нейтральная вероятность на биномиальном рынке

, a .



Постоянная k0, фигурирующая в формуле Кокса-Росса-Рубинштейна определяется как

k0 = min {kN : S0(1 + b)k(1 + a)N-kK}

и имеет вид


Определим опцион продавца как финансовое обязательство того же типа, что и опцион покупателя с функцией выплаты

fN = (KSN)+

Используя равенство

(KSN)+ = (SN K)+SN + K

а также мартингальность SN /BN получаем выражение для цены опциона продавца через цену для опциона покупателя

PN = CNS0 + K(1 + r)N

Программа осуществляет расчет цен опционов продавца и покупателя. На вход должны подаваться следующие данные:


  1. S0 – цена акции в начальный момент времени;

  2. K – цена исполнения контракта;

  3. a и b – значения относительной прибыльности акций;

  4. r – процентная ставка по банковскому счету;

  5. N терминальный момент времени исполнения контракта.


На выходе программы выводятся значение цены опциона покупателя и цена опциона продавца, рассчитанная по паритетной формуле.

Приложение 4

Расчёт «справедливой» цены для опциона покупателя Американского типа
Опционом американского типа называют производную ценную бумагу, дающую право предъявления его к исполнению в любой момент времени до истечения терминального момента времени N.

С математической точки зрения опцион американского типа можно рассматривать как портфель стандартных опционов европейского типа. Соответственно для каждого момента времени можно вычислить размер выплаты по контракту и определить «справедливую» цену всего портфеля. «Справедливой» ценой в данном случае будет являться максимальный прогноз будущих выплат



Рассмотрим задачу вычисления справедливой цены опциона американского типа для N-шаговой стратегии.

Пусть функция выплаты задается выражением

fn = (SnK)+, nN.

Следуя стандартной процедуре оценки необходимо исследовать структуру максимальных прогнозов и на каждом шаге вычислять



Согласно этой схеме «справедливая» цена будет определяться соотношением


На входе программа получает:


  1. S0 – начальная цена акции;

  2. a и b – доходности акции;

  3. r – процентная ставка по банковскому счету;

  4. K – цена исполнения контракта;

  5. N – терминальный момент времени.

На выходе отображается справедливая цена опциона американского типа с заданной функцией выплаты.
Приложение 5

Расчет спреда на рынке с ограничением
Рассмотрим рынок с ограничением следующего типа: пусть ставки депозитного и кредитного банковских счетов различны. Т.е. рассмотрим (B1,B2,S) – рынок Кокса-Росса-Рубинштейна.

При введении подобных ограничений рынок становится неполным и появляется понятие не безарбитражной цены, а интервала безарбитражных цен, который определяет спред данного рынка.

В рассматриваемом случае определить величину спреда рынка довольно просто, достаточно рассмотреть выражения для «справедливой» цены опциона при обеих процентных ставках.

Эти значения определяют верхнюю и нижнюю границы интервала безарбитражных цен.
На входе программа получает:

  1. S0 – начальная цена акции;

  2. a и b – доходности акции;

  3. r1 и r2 – процентные ставки по депозитному и кредитному банковскому счету соответственно;

  4. K – цена исполнения контракта;

  5. N – терминальный момент времени.

На выходе наблюдаются вычисленные значение цены опциона покупателя при различных банковских ставках и разность между этими значениями, т.е. спред рынка.

Приложение 6

Расчет цены платежного обязательства по формуле Блэка и Шоулса и определение «греческих» параметров рынка в непрерывном случае
В рамках модели Блэка и Шоулса «справедливая» цена платежного обязательства вычисляется по формуле

,


где

,

а  - стандартное нормальное распределение.
Цена опциона продавца связана с ценой опциона покупателя следующим образом:

PT(K, , S0)=CT(K, , S0)
В практическом риск-менеджменте принято рассматривать греческие параметры рынка, которые определяются из соотношений:



На вход программы подаются:


  1. S0 – цена акции в начальный момент времени;

  2. K – цена исполнения контракта;

  3.   волатильность рынка;

  4. r – процентная ставка по банковскому счету;

  5. Tтерминальный момент времени;

  6. t – некоторый промежуточный момент времени, используемый при расчете греческих параметров рынка.


На выходе программа дает значения цены опциона покупателя и опциона продавца, а также значения греческих параметров рынка.

Приложение 7

Расчет цены платежного обязательства во формуле Блэка и Шоулса в случае получения дивидендов
При предположении о том, что владение акциями приносит дивиденды формула Блэка и Шоулса изменяется и принимает следующий вид:

Входными данными для программы являются:

  1. S0 – цена акции в начальный момент времени;

  2. K – цена исполнения контракта;

  3.  волатильность рынка;

  4. r – процентная ставка по банковскому счету;

  5. T терминальный момент времени;
  6.  - процентная ставка дивидендов.


На выходе программы наблюдаются значение цены для опциона покупателя с условием получения дивидендов.



1 Подготовлено совместно Мельниковым А.В. и Штыковым С.Н.