prosdo.ru 1
Задачи и вопросы по классической механике 1


1.1. Частица, имеющая массу и заряд , влетает в однородное стационарное электрическое поле со скоростью , перпендикулярной к его направлению. Определить траекторию движения частицы.

1.2. Составить и проинтегрировать в координатном представлении уравнения движения частицы массы с зарядом , которая влетает в однородное стационарное электрическое поле со скоростью , перпендикулярной к его направлению.

1.3. Составить и проинтегрировать в координатном представлении уравнения движения частицы массы с зарядом , которая влетает в однородное стационарное электрическое поле со скоростью , перпендикулярной к его направлению, учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости: .

1.4. Составить и проинтегрировать в векторном представлении уравнение движения частицы массы с зарядом , которая влетает в однородное стационарное электрическое поле со скоростью , под углом к его направлению.


1.5. Составить и проинтегрировать в векторном представлении уравнение движения частицы массы с зарядом , которая влетает в однородное стационарное электрическое поле со скоростью , под углом к его направлению, учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости: .

1.6. На материальную точку действует периодическая сила . Найти и проинтегрировать уравнение движения точки при , .

1.7. На материальную точку действует периодическая сила . Найти и проинтегрировать уравнение движения точки при , , учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости: .

1.8. Частица с массой и зарядом попадает в однородное стационарное магнитное поле со скоростью , перпендикулярной к направлению магнитного поля. Определить траекторию движения частицы, учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости: .


1.9. Тело падает на Землю с большой высоты . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость , с которой оно упадет на Землю. Радиус Земли равен .

1.10. Тело массы , брошенное с начальной скоростью под углом к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления воздуха . Считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: , проинтегрировать уравнения движения тела.

1.11. Тело массы брошено со скоростью под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха проинтегрировать в векторном виде уравнение его движения: найти уравнение годографа и уравнение траектории, из которого определить вид траектории, перейдя к координатному представлению и избавившись от времени. Выяснить, как дальность полета зависит от угла броска ?

1.12. Частица массы движется по закону , . Определить силу, действующую на частицу в каждой точке траектории.


1.13. Выразить период обращения спутника вокруг Земли через 1) гравитационную постоянную , высоту его подъема над Землей, ее массу и радиус ; 2) высоту его подъема над Землей, ее радиус и ускорение свободного падения на ней; 3) гравитационную постоянную , массу Земли , массу спутника и его кинетическую энергию .

1.14. Первая космическая скорость определяется как минимальная скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником планеты. Вторая космическая скорость определяется как минимальная скорость, которую должно иметь тело, чтобы выйти из сферы влияния планеты. Найти первую и вторую космические скорости для Земли и Луны. Радиус Земли ; масса Луны ; радиус Луны ; гравитационная постоянная .


1.15. Тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую часть энергии передает первое тело второму при ударе.

1.16. На стакане лежит карта, а на ней — монета. Проанализировать количественно, почему при медленном снимании карты монета остается на ней, а при быстром выдергивании падает в стакан? Предполагается, что карта движется равномерно, а сила трения сцепления монеты с картой не зависит от скорости.

1.17. Определить скорости двух шаров с массами и после их центрального упругого удара, скорости которых и до столкновения были направлены вдоль прямой, соединяющей их центры.

1.18. Из уравнений гидростатики вывести принцип Архимеда, согласно которому тело, погруженное в жидкость, испытывает выталкивающую силу, равную по величине весу вытесненной жидкости. (Учесть, что выталкивающая сила является равнодействующей сил давления.)

1.19. Частица с массой и зарядом попадает в однородное тормозящее электрическое поле со скоростью , параллельной направлению поля. Определить время, через которое частица вернется в начальную точку.


1.20. Частица с массой и зарядом попадает в однородное электрическое поле, меняющееся по закону со скоростью , перпендикулярной к направлению электрического поля. Определить траекторию движения частицы.

2.1. Приведите формулу Тейлора разложения функции в окрестности произвольной точки с остаточным членом в интегральной форме. Каким условиям должна удовлетворять функция при этом?

2.2. Как из интегральной формы остаточного члена формулы Тейлора получается его форма в виде Лагранжа?

2.3. Приведите формулу Маклорена разложения функции.

2.4. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения экспоненты. Какая область его сходимости?

2.5. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения косинуса. Какая область его сходимости?

2.6. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения синуса. Какая область его сходимости?

2.7. Приведите формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем . При каких значениях справедлива формула?

2.8. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения логарифма. Какая область его сходимости?

2.9. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) биномиального разложения. Какая область его сходимости?

2.10. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения арктангенса. Какая область его сходимости?


2.11. Приведите степенной ряд Тейлора (Маклорена) разложения арксинуса. Какая область его сходимости?

2.12. Что представляет собой мнимая единица?

2.13. Какие формы комплексного числа существуют, как они выглядят?

2.14. Как перевести комплексное число из алгебраической формы в тригонометрическую?

2.15. Как умножаются (делятся) комплексные числа в тригонометрической форме?

2.16. Приведите формулу Муавра возведения комплексного числа в целую степень.

2.17. Приведите формулу извлечения корня степени из комплексного числа.

2.18. В чем состоят различия между арифметическим и алгебраическим корнями?

2.19. По какой формуле вводится экспоненциальная функция? Как вводится комплексная экспоненциальная функция?

2.20. Приведите формулу Эйлера и следствия из нее, связывающие экспоненциальную функцию с синусом и косинусом.

3.1. Приведите формулы разложения функции, периодической с периодом , в тригонометрический ряд Фурье.

3.2. Каким условиям должна удовлетворять функция для возможности ее разложения в ряд Фурье?

3.3. Сформулируйте теорему Дирихле.

3.4. Приведите формулы разложения четной функции в неполный ряд Фурье по косинусам.

3.5. Приведите формулы разложения нечетной функции в неполный ряд Фурье по синусам.

3.6. Приведите формулы разложения функции, не обладающей четностью, нечетностью, в неполный ряд Фурье по косинусам.

3.7. Приведите формулы разложения функции, не обладающей четностью, нечетностью, в неполный ряд Фурье по синусам.

3.8. Приведите формулы разложения функции, периодической с периодом , в тригонометрический ряд Фурье.


3.9. Приведите формулы разложения произвольной функции в тригонометрический ряд Фурье на промежутке .

3.10. Приведите формулы разложения произвольной функции в тригонометрический ряд Фурье на промежутке .

3.11. Приведите формулы разложения произвольной функции в комплексный ряд Фурье на промежутке .

3.12. Приведите интегральную формулу Фурье.

3.13. Приведите формулы разложения функции в тригонометрический интеграл Фурье.

3.14. Приведите формулы разложения четной функции в тригонометрический интеграл Фурье.

3.15. Приведите формулы разложения нечетной функции в тригонометрический интеграл Фурье.

3.16. Как произвольную функцию разложить в неполный интеграл Фурье по косинусам, по синусам?

3.17. Приведите формулы прямого и обратного косинус-преобразования Фурье.

3.18. Приведите формулы прямого и обратного синус-преобразования Фурье.

3.19. Приведите комплексную форму интеграла Фурье.

3.20. Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье.