prosdo.ru
добавить свой файл
1 2 ... 11 12

Лабораторная работа № 1

Вычисление погрешностей арифметических выражений


Цель работы:

1. Изучение элементов теории погрешностей.

2. Решение практических задач вычисления абсолютной и относительной погрешностей арифметических выражений.

Теоретические сведения по теме работы

Пусть x – точное число (истинное значение величины), a – приближенное число (приближенное значение величины).

Определение. Величина Δ = x-a | называется абсолютной погрешностью приближенного числа a.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа a называется Δa > 0 такое, что Δ ≤  Δa, т.е | x-a | ≤  Δa.

Определение. Относительной погрешностью приближенного значения a числа x называется отношение абсолютной погрешности Δ числа a к величине | x |:

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа a называется δa > 0 такое, что δ ≤  δa.

Теорема. Предельная абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

Теорема. Предельная абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Теорема. Предельная относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Теорема. Предельная относительная погрешность частного от деления двух приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Теорема. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произведению показателя степени на предельную относительную погрешность основания.


Теорема. Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа равна предельной относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель корня.

Варианты заданий

1. Составить программу вычисления абсолютной и относительной погрешностей арифметических выражений.

2. Провести вычисления по программе.

Исходные данные

Задание.


  1. Y=A/B-B/C+C/A

  2. Y=(B+A/C)(C-A)

  3. Y=(A-B)(B+C)(C-A)

  4. Y=B/(A+C)+A/(B-C)

  5. Y=(B+CA)/(A-CB)

  6. Y=A/B+B/C-C/A

  7. Y=(B-A/C)(C+A)

  8. Y=(A+B)(B-C)(C+A)

  9. Y=B/(A-C)-A/(B+C)

  10. Y=(B-CA)/(A+CB)

При

Лабораторная работа № 2
Вычисление приближенных значений функций с помощью разложения в ряд


Цель работы:

  1. Изучение численных методов вычисления значения функций с помощью степенных рядов.

  2. Решение практических задач, составление и отладка программ.

Теоретические сведения по теме работы

Пусть функция действительной переменной представляется в виде ряда:

f(x) = U0(x) + U1(x) + U2(x) + … +Un(x)+… (1)

В частности это может быть ряд Тейлора:

(2)

или при х0 = 0 ряд Маклорена:


При различных вычислениях сумму ряда (2) заменяют ее частичной суммой, т.е. рассматривают сумму конечного числа первых членов ряда и получают приближенную формулу f(x)   Sn(x).


Разность Rn(xf(х) – Sn(x) – остаточный член ряда и представляет собой погрешность, возникающую при замене значения функции f(x) значением частичной суммы Sn(x).

Остаточный член ряда Тейлора может быть выражен в форме Лагранжа

, где

Для вычисления f(x) при заданном значении x0 вычисляют частичную сумму ряда. При вычислениях значений слагаемых - членов рядов происходят округления промежуточных результатов значений слагаемых. Отсюда следует, что к погрешности Rn(x) прибавляется погрешность при вычислении Sn(x). Если необходимо вычислить f(х) с точностью , то выбирают три положительных числа 1, 2, 3 такие, что 1 + 2 + 3 = . Число членов ряда выбирают настолько большим, чтобы |Rn(x)|≤  . Каждое из слагаемых Uk(x), где k = 0, l, 2, 3, ..., n, вычисляют с абсолютной погрешностью не большей /n .Задача вычисления суммы бесконечного ряда - это типичный пример итерационного циклического процесса. Ряд t0t1, …, tn … сходится, если сумма Sn(х)= t0 + t1 + … + tn его первых (n+l) слагаемых при n→∞ стремится к некоторому пределу S, называемому суммой ряда. Общий член tn сходящегося ряда при этом стремится к 0,




Следовательно, последовательность S1(x), S2(x), .... .Sn(x) является искомой последовательностью значений. Итерационные вычисления прекращаются при выполнении условия: |Sn(x) - Sn-1(x)s или |tns.

Примеры разложения некоторых элементарных функций.













Задания для самостоятельного выполнения

Задание.

1. Составить программу вычисления значения функции с помощью степенного ряда.

2. Провести вычисление по программе.

3. Сравнить численное решение с результатами, полученными стандартными методами программы Mathcad.

Исходные данные

Вычислить значение функции с помощью степенного ряда с точностью 10-5:

sin(x) при x = 0.2;

cos(x) при x = 0.3;

exp(x) при x = 0.1;

ln(1+x) при x = 0.7;

1/(1+x) при x = 0.4;

tg(x) при х = 0.5;

ctg(x) при х = 0.7;

arctg(x) при х = 0.35;

ch(x) при х = 0.75;

при х = 0.9.



следующая страница >>