prosdo.ru
добавить свой файл
1 2 ... 5 6



Предел функции.

Определение.
Проколотой окрестностью точки называется окрестность этой точки, из которой исключена точка : .

Проколотой -окрестностью точки называется множество

.

Окрестностями , , будем называть следующие множества

, ,

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества ( либо если в любой окрестности точки существует по крайней мере одна, не совпадающая с , точка множества :).


В частности, если , то точка - предельная точка множества , если

.

Примеры. 1. Множество является множеством предельных точек множеств .

2. Множество не имеет предельных точек.

3. Точка является предельной для множества .

Пусть - предельная точка множества , функция .

Определение 1 (по Коши). Функция стремится к () при стремящемся к () или число является пределом функции при , стремящемся к ( или ), если

.

Пусть - -окрестность точки , - проколотая -окрестность точки , причём (т.е. возможны случаи , ). Тогда (по Коши)


, если .

Пример. 1. Покажем, что .

Заметим, что функция определена на множестве , тем не менее, существует предел функции в точке, в которой функция не определена.

Действительно, имеем по определению Коши, что

, если .

Выбираем . Тогда если , то , т.е. , что и требовалось показать.

2. Покажем, что , где .

Действительно, по определению Коши

, если .

Выбираем . Тогда если , то , т.е. .

Определение 2 (по Гейне). Функция стремится к при , стремящемся к , или является пределом функции при , стремящемся к ( или ), если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений в точках имеет своим пределом точку , т.е.:


Примеры. 1. Покажем, что .

Пусть - любая последовательность из такая, что . Тогда по свойствам предела последовательности имеем, что

, а, следовательно, из определения предела функции по Гейне следует, что .
2. Покажем, что функция ,

не имеет предела при . Из определения предела функции по Гейне следует, что если мы укажем хотя бы две последовательности и такие что , а , то данная функция не имеет предела при .

Пусть , . Тогда , а

.

3. Покажем, используя определение предела функции по Гейне, что .

Действительно, пусть - любая последовательность из такая, что .

Заметим, что .

Тогда .

Теорема. Определения 1 (по Коши) и 2 (по Гейне) предела функции равносильны.

Доказательство. Покажем, что из определения 1 предела функции по Коши следует определение 2 предела функции по Гейне.

Действительно, пусть .

Рассмотрим произвольную последовательность такую, что , . Такая последовательность существует, т.к. - предельная точка множества . Тогда для , т.е. . Т.к. , то , т.е. , а следовательно, , что и требовалось доказать.

Осталось показать, что из определения 2 предела функции по Гейне следует определение 1 предела функции по Коши. Докажем это методом доказательства от противного. Предположим, что по Коши, т.е.

.

Пусть - последовательность такая, что . Тогда из написанного выше следует, что . Из неравенства по теореме о трёх последовательностях получаем, что . Тогда мы получаем, что , что приводит нас к противоречию, т.к. в силу определения функции по Гейне


Замечание: в случае , теорема доказывается аналогично (изменяются только соответствующие неравенства или все записывается на языке окрестностей). Выполните это самостоятельно. Теорема доказана.
Свойства предела функции.


  1. Единственность предела. Пусть - предельная точка множества , . Если и , то .

Доказательство. Предположим, что . Тогда рассмотрим окрестности и такие, чтобы . Например, выбрав .

Так как , то . Так как , то . Рассмотрим . , так как - предельная точка множества . Пусть . Тогда и мы приходим к противоречию, т.к. . Свойство 1 доказано.
  1. Пусть - предельная точка множества , . Если , то (т.е. функция является локально ограниченной).


Доказательство. Так как , то . Так как , то получаем, что . Т.к. можно выбирать любое, то, выбрав , получаем, что . Свойство 2 доказано.

  1. Арифметические свойства пределов функции. Пусть - предельная точка множества , , . Если

и , то

а) ;
б) ;

в) если и , то .

Доказательство данного свойства следует из определения предела функции по Гейне и арифметических свойств предела последовательностей.

Определение. Пусть - предельная точка множества , . Функция называется бесконечно малой (б.м.) функцией при , если .


Замечание. , где - б.м. при функция.


  1. Пусть - предельная точка множества , , , f - бесконечно малая при функция, функция g ограничена в некоторой окрестности точки . Тогда , т.е. функция fg является бесконечно малой при .




следующая страница >>