prosdo.ru
добавить свой файл
1





КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра Автомобильных Двигателей и Сервиса



МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В АВТОТЕХНИКЕ

Учебное пособие


Составитель: Крюков В.Г.

Казань - 2006


TEMA1. ОБЛАСТИ ПРИЛОЖЕНИЯ И ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1 Введение
В течение жизни человек вступает в взаимодействие с различными объектами, системами, явлениями, которые он наблюдает, использует, исследует. Многие из этих систем человек моделирует для того, чтобы узнать их свойства, создать или предсказать их поведение. Моделирование позволяет сократить время и уменьшить затраты на решение этих задач. Моделирование предполагает наличие некоторого объекта – оригинала, для изучения которого создается модель, отражающая те или иные свойства этого объекта. Идея моделирования получила широкое распространение в деятельности инженеров, ученых, экономистов, биологов, медиков и т.д. К настоящему времени сформировалось несколько видов моделирования, среди которых можно выделить:

- “геометрическое моделирование”: чертежи, схемы установок, географические карты;

- физическое моделирование: планетарий, игрушечный автомобиль, манекен, макеты зданий, уменьшенные копии химических реакторов;

- аналоговое моделирование: электрическая аналогия процессов теплопроводности, аналоговые схемы управления двигателями, эквивалент борта ракеты;

- математическое моделирование: представление объектов и систем математическими соотношениями с последующим получением численных результатов;

- гибридное (комбинированное) моделирование: моделирование одного объекта двумя или более видами моделей, например: теплообменник: коэффициенты теплообмена определяются физическим моделированием, а тепловые потоки – математическим моделированием; проектирование ДВС: чертежи - графическое моделирование, расчеты – математическое моделирование.

Объекты математического моделирования.

Математическое моделирование в настоящее время получило широкое распространение и успешно прилагается к таким объектам, как: химические реакторы, вещества, строительные конструкции, медицинское оборудование, природные экосистемы, атмосферные процессы, транспорт, агропромышленные предприятия, автомобильные двигатели, предприятия автосервиса. Математическое моделирование – это процесс формализации объекта-оригинала посредством отображения его свойств и характеристик математическими соотношениями. Так как объекты и системы, подлежащие моделированию очень разнообразны, то и математические соотношения являются также разнообразными, охватывая практически все разделы современной прикладной математики. Объекты могут быть динамические и статические, детерминированные и стохастические, микро- и макро-объекты, системы природные и создаваемые человеком, доступные и недоступные экспериментальным исследованиям и преобразованиям.

Область применения математического моделирования непрерывно расширяется, однако, можно провести некоторую подвижную границу его применения. Математическое моделирование применяется в тех областях, где открыты и действуют, записанные в форме математических соотношений законы, правила или статистические данные, полученные экспериментально. В областях, где такие соотношения отсутствуют, математическое моделирование не используется (написание стихов, рисование картин, обучение студентов, прогнозирование развития общества). Кроме того, существуют очень сложные объекты и системы, к которым математическое моделирование не применяется, хотя эти объекты могут быть описаны математически: спортивное плавание, раскрытие парашюта.

Математические модели объекта формируются на основе существенных свойств этого объекта, а также законов, правил или статистических данных, например:

а) модель закачки воды в бак (Рис. 1.1)


Рис. 1.1 Закачка воды в бак
Существенными свойствами этого объекта являются наличие насоса, трубопровода, бака. Необходимо учитывать законы: Бернулли, тяготения, сохранения вещества, а также закономерности движения жидкости с учетом трения и целью модели является определение времени наполнения бака.

б) распределение воды по участкам (Рис. 1.2).



Рис. 1.2 Распределение воды по участкам
При создании математической модели здесь необходимо использовать те же законы, что и в задаче а), но существенными свойствами объекта являются: наличие бака, гидравлическая схема (сети трубопроводов), вентилей. Поэтому модель будет другой и ее целью будет определение времени опорожнения бака.

Модели бывают частные и полные. Частная модель описывает и позволяет рассчитать одну или несколько характеристик объекта. Например, частными являются модели определения масс: бака, трубопроводов или всей системы наполнения. Частной является также модель определения стоимости системы наполнения. Полная модель описывает все интересующие характеристики системы. Например, для схемы наполнения бака (Рис. 1.1) полная модель должна включать все характеристики, необходимые для создания этой гидравлической системы, которые получаются из моделей наполнения бака, прочности, массы, стоимости. Точно также, если объединить все расчетные методики проектирования автомобильного двигателя в один взаимосвязанный комплекс, то получим полную математическую модель этого двигателя.

По сравнению с другими методологиями создания или исследования объекта-оригинала математическое моделирование имеет следующие достоинства:

- возможно определить характеристики объектов без их создания, оценить несколько вариантов, выбрать из них наилучший и только затем изготовить объект (т.е. можно проводить эксперименты с математической моделью, а не с натурными объектами);

- можно исследовать аварийный и катастрофический режимы работы систем и оценить последствия таких режимов;


- можно исследовать и прогнозировать развитие систем, недоступных нашему воздействию (атмосфера, озоновые дыры, подземные глубины), а также системы, с которыми невозможно или запрещено проводить эксперименты (системы железнодорожного транспорта, эко-системы).

Однако математическое моделирование имеет недостатки, которые необходимо знать и учитывать при создании и использовании моделей, например:

- иногда в модель включаются неправильные гипотезы или допускаются ошибки в математических преобразованиях, что приводит к неадекватным результатам. Поэтому необходимо проверять результаты, сравнивая их с независимыми данными (эксперименты, данные других авторов);

- модели могут быть очень сложными, требующими участия высококвалифицированных специалистов (математиков, специалистов по предметной области, программистов). Такие модели требуют значительных финансовых ресурсов и времени;

- в современных математических моделях для решения применяются численные методы и если их использовать без предварительного анализа могут появиться значительные погрешности в результатах расчета
Исторические аспекты и актуальность для специальностей ДВС и “Сервис”.

Математическое моделирование возникло одновременно с математикой, т.к. математика появилась из практических потребностей человечества: подсчитывать скот, птиц, предсказывать разливы рек, делить участки земли, определять урожайность и т.д. Тогда же были обоснованы простейшие арифметические операции и открыты первые законы природы, что в принципе позволяло создавать математические модели. Одну из первых таких моделей с одновременным открытием закона создал Архимед. Надо было определить содержание золота и серебра в царской короне. Понятия плотности золота ρз и серебра ρс были известны. Также был известен вес короны Pк, неизвестным являлся объем короны Vк. Но Архимед открыл закон вытеснения жидкости, с помощью которого определил Vк и создал математическую модель, представляемую 2-мя линейными уравнениями с 2-ми неизвестными:

(1.1)
Решив эти уравнения, он нашел Vз и Vс. Последствия этого решения имели практическое значение особенно для кузнеца короны - ему отрубили голову.

Однако, в древности и даже средние века математическое моделирование имело ограниченное распространение из-за слабого развития математики и отсутствия математических формулировок, законов и правил. Например, ветряные мельницы были созданы много веков назад, но их усовершенствование протекало очень медленно, т.к. проводилось чисто эмпирическим способом по схеме, приведенной на Рис. 1.3.

Но в новые времена (18 век) начала бурно развиваться высшая математика (интегральное и дифференциальное исчисления). Параллельно были открыты и описаны в математической форме многие законы: гравитации, движения жидкости и газов, термодинамики, Гука, химических превращений и т.д.




Рис. 1.3 Схема разработки изделий без применения математического моделирования

1 – Изделие готово для эксплуатации ?

Началось: реальное проектирование машин, зданий, кораблей с использованием математического моделирования; прогнозирование поведения недоступных объектов и систем, с которыми невозможно проводить эксперименты. Можно отметить открытие планеты Плутон, которое было сделано с помощью математического моделирования. Однако с каждым десятилетием законы описывались все более сложными математическими формами, технические изделия становились все сложнее, требовалось все более глубокое изучение природных и биологических систем и в первой половине 20 века проявилось существенное препятствие для дальнейшего распространения математического моделирования. Были уже созданы математические модели сложных процессов, но оказалось невозможным реализовать эти модели на практике, т.к. требовалось огромное количество вычислений и соответствующие методы интегрирования, которые вручную (или на механических калькуляторах) было невозможно выполнить. И только с появлением ЭВМ, выполняющих миллионы и более арифметических операций в секунду, появилась возможность использования на практике сложных математических моделей. Например, 3-мерные уравнения Новье-Стокса, описывающие движение вязкого газа, были получены более 150 лет назад, а интегрировать их начали только в последние годы.


В настоящее время математическое моделирование проникло во многие области науки, техники, народного хозяйства. В частности, студенты и выпускники специальностей ДВС и “Сервис” применяют математическое моделирование: при проектировании узлов двигателя (прочность, теплообмен, горение, расчет динамических характеристик); для идентификации двигателей; для оптимизации запасов на складах; для расчета систем вентиляции и освещения помещений; для определения рационального количества рабочих постов; для решения проблем транспортных потоков; для обоснования экономической деятельности автопредприятий; для сокращения вредных выбросов и определения цены на подержанные автомобилей; для проектирования диагностического оборудования и т.д.
1.2 Технология современного математического моделирования.
Процесс математического моделирования состоит из ряда этапов. В зависимости от области приложения и применяемого математического аппарата названия и содержание этих этапов могут определяться по-разному. В нашем курсе лекций мы определим эти этапы по традиционной технологии, которая была выработана уже десятки лет назад для приложений к техническим системам.
Постановка задачи.

На этом этапе на основе словесного описания задачи определяется цель создания математической модели, заключающаяся в установлении характеристик, которые должны быть вычислены. Определяется также набор основных параметров, влияющих на эти характеристики. Например, требуется определить траекторию всплытия подводной лодки, движущейся с постоянной горизонтальной скоростью Wл. В момент t = 0 лодка находится на глубине H (Рис. 1.4 ).



Рис. 1.4 Схема всплытия подводной лодки. 1 – Y = f(X) – траектория всплытия.

Подъем происходит за счет вытеснения воды из цистерн, в результате чего средняя плотность лодки (ρл) становится меньше плотности воды (ρв). Объем лодки Vл является известным. Исходя из описания задачи, легко сформировать характеристики, которые требуется найти: траекторию, т.е. зависимость Y = f(X) и время подъема (tf). Основными параметрами, влияющими на эти характеристики, являются: .

Создание концептуальной (физической) схемы.

Здесь необходимо определить какие явления будут учитываться, какие законы применяться, а также сформировать набор допущений, для того, чтобы в последующем сформировать математическую модель. В частности для задачи всплытия лодки будем учитывать закон тяготения, выражаемый формулой:
(1.2)
закон Архимеда, определяющий выталкивающую силу:
(1.3)
а также второй закон Ньютона:
(1.4)
где m – масса тела; S – равнодействующая сил, действующих на тело.

Примем следующие допущения:

- мгновенное наполнение цистерн воздухом, т.е. достижение плотности л в момент t = 0;

- отсутствие вертикальной силы сопротивления воды при подъеме лодки;

- горизонтальная составляющая скорости Wл остается постоянной, при t = 0 вертикальная скорость лодки u0 = 0;

- масса лодки определяется по формуле:
(1.5)

т.е. предполагается, что эта масса распределена равномерно по объему лодки.

Формирование математической модели.

На этом этапе формируются математические соотношения, необходимые для определения характеристик системы, базируясь на учитываемых явлениях, используемых законах и принятых допущениях. Математическая модель должна быть “корректной”, т.е. приводить хотя бы к одному правильному решению. В частности, для задачи всплытия лодки следует написать уравнения для траектории и времени всплытия согласно принятой физической схеме. Учитывая, что ускорение и сила S = F – P, на основе второго закона Ньютона можно записать:

(1.6)
Отсюда:
(1.7)
А для горизонтальной составляющей имеем:
(1.8)
Сила сопротивления отсутствует, поэтому в правых частях уравнений (1.7, 1.8) нет дополнительных слагаемых. В этой задаче можно принять, что начальными условиями являются (при t = 0): X0 = 0, Y0 = 0 и u0 = 0. Интегрирование необходимо проводить до значения Yf = H. Соответствующее значение t = tf является временем всплытия.
Разработка алгоритма.

На этом этапе математическая модель представляется в форме, позволяющей получить решение задачи. В абсолютном большинстве случаев для решения используются численные методы, т.к. современные математические модели являются сложными и аналитическую форму их решения невозможно получить. Но в нашем простом примере легко выводится именно аналитическое решение. Интегрируя дважды уравнение (1.7) получим:
(1.9)
Учитывая начальные условия Y0 = 0 и u0 = 0, имеем С1 = С2 = 0, тогда:
(1.10)
Аналогично для X(t) получим:
(1.11)
Учитывая, что:
(1.12)
получим:

(1.13)

Траектория – это зависимость Y = f(X), получаемая исключением времени из формул (1.12, 1.13). Тогда:
(1.14)
При расчете траектории необходимо задать шаг, который определим по формуле: .
Создание программы расчета.

В современном математическом моделировании с весьма значительным объемом расчетов применяется ЭВМ, которая “не понимает” математических символов, а “понимает” только программы на языках программирования. Поэтому алгоритм, сформированный на предыдущем этапе, необходимо перевести на какой-нибудь язык программирования и только после этого возможно выполнение расчетов на ЭВМ. Алгоритм, переведенный на язык программирования, называется программой, в которой кроме вычислительных операций необходимо задать форму представления результатов.

Примем, что в нашем примере будет использован язык программирования ФОРТРАН, а результаты ()предстанут в числовой форме. Тогда программа расчета всплытия лодки можно записать в следующем виде:

PROGRAM MAIN

Dimension y(101), x(101)

C H – глубина начала всплытия (м)

С T – текущее время (с)

С TF – время всплытия

С RL - средняя плотность подлодки (кг/м3)

С RВ - плотность воды (кг/м3)

С W0 - горизонтальная скорость подлодки (м/с)

С XF - расстояние всплытия по горизонтали (м)

C DX - шаг траектории – ΔX (м)

G = 9.82

read(*,*) H, RL, RВ, W0

write(*,*)H, RL, RВ, W0

TF = SQRT(2*RL*H/(G*(RВ-RL)))

XF = W0*TF

B = G*(RВ-RL)/(2*RL*W0*W0)

DX = 0.01*XF

DO I=1,101

X(I)= (I-1)*DX

Y(I) = B*X(I)*X(I)


END DO

write(*,*) XF, TF, DX

write(*,*) (X(I), Y(I), I=1,101)

STOP

END PROGRAM MAIN

Тестирование, идентификация модели.

Если мы уверены, что модель является корректной, алгоритм и программа созданы без ошибок, а погрешности вычисления незначительны, то в принципе в этом этапе нет необходимости, но такие случаи встречаются редко. Как правило, из-за наличия допущений модель может приводить к существенным ошибкам при численных исследованиях. Кроме того ошибки могут содержать алгоритм и программа, а численные схемы – генерировать значительные погрешности в расчетах. Таким образом, требуется проверка модели и получаемых с ее помощью результатов на достоверность. Это и происходит на этапе тестирования и идентификации.

При создании модели всплытия подлодки мы сделали, по крайней мере, два грубых допущения:

- о мгновенном заполнении цистерн;

- об отсутствии сопротивления воды при подъеме лодки.

Поэтому необходимо сравнить результаты, полученные по созданной математической модели, с данными более точных моделей или с экспериментальными результатами. По-видимому, реальная траектория и траектория, рассчитанная по нашей математической модели, будут соотноситься так, как показано на Рис. 1.5., где 1 – ошибка из-за допущения о мгновенном заполнении цистерн; 2 – ошибка, вызванная пренебрежением сил сопротивления воды.



Рис. 1.5 Траектории всплытия подводной лодки.

1 – траектория, вычисленная по математической модели; 2 – реальная траектория.
В результате идентификации необходимо сформировать рекомендации об области применения модели. В частности, для нашей модели всплытия значения 1, 2 будут небольшими при малых скоростях подъема.

Численные исследования.


Этот этап соответствует применению модели на практике, когда, варьируя параметрами модели, путем выполнения расчетов мы получаем интересующие нас характеристики. Эти характеристики анализируются, обобщаются, объясняются и в результате вырабатываются какие-то рекомендации по свойствам объектов, по выбору наилучших параметров, по методам управления системой и т.д. В примере со всплытием подлодки на этапе численных исследований выполняются расчеты с изменением параметров H, Wл, л, в результате строятся графики (Рис. 1.6) и номограммы, а также вырабатываются какие-то рекомендации, например о необходимости снижения начальной скорости перед всплытием.




Рис. 1.6 Траектории всплытия подводной лодки при различных скоростях Wл.

1 – Wл = W0; 2 – Wл < W0; 3 - Wл > W0.
В последующих темах данного курса этапы математического моделирования будут описаны более подробно с примерами и изложением необходимого математического и предметного обеспечения, а именно:

- Тема 2 относится к этапам постановки задачи и физической схематизации;

- Тема 3 относится к этапу построения математической модели;

- Тема 4 относится к этапу создания алгоритма решения задачи;

- Тема 5 относится к этапу разработки программ.
Контрольные вопросы.
1. Охарактеризуйте виды моделирования.
2. Опишите различие между физическим и математическим моделированием (с примерами).
3. В каких областях деятельности и знаний применяется математическое моделирование? Приведите примеры из параллельно изучаемых вами дисциплин.

4. Охарактеризуйте достоинства и недостатки математического моделирования (по сравнению с методологией, приведенной на Рис 1.3). Приведите пример.

5. Приведите примеры систем недоступных для физического воздействия, но которые можно исследовать с помощью математического моделирования.
6. Как Архимед определил объем короны?
7. Какие законы действуют при “подтягивании” гаек на колесах автомобилей?
8. Какие свойства и законы природы следует применять при формировании математической модели образования льда на реках?
9. Найти аналитическую формулу Y = f(X) для траектории движения точки, описывающегося зависимостями:
(К1)
в интервале t = 0 ÷ 2π.
10. Найти аналитическую формулу Y = f(X) для траектории движения точки, описывающегося зависимостями:
(К2)
в интервале t = 1 ÷ 10. Найти начальную (X0, Y0) и конечную (Xf, Yf) точки траектории.
11. Найти формулу зависимости скорости автомобиля от расхода топлива (W = f(G)) на стационарном режиме, используя соотношения:

. (К3)
где P – тяга; S – сила сопротивления; G – расход топлива; a, b, ξ, ρ – известные величины.

На стационарном режиме тяга и сила сопротивления уравновешены.
12. Написать программу на ФОРТРАНЕ для определения траектории точки, движение которой описывается уравнениями:
(К4)

Движение происходит в интервале t = 1 ÷ 5, шаг по траектории Δt = 0,2 значения a, b, c, S являются известными. Предусмотреть печать исходных данных, а также значений Xi, Yi в рассчитываемых точках траектории.

13. В результате создания некоторой математической модели была получена зависимость расхода топлива (G л/час) от скорости движения автомобиля (V):
(К5)
в интервале V = 1 ÷ 100 км/час. Покажите, что формула (К5) не корректна.
14. Студент С выписал из учебника (с одной ошибкой) эмпирическую формулу зависимости максимальной скорости грузовика от веса груза (P) и мощности двигателя (W):
(К6)

для интервалов W = (100÷300) л.с.; P = (2 ÷ 15) тонн. a и b являются известными величинами. Покажите, что формула (К6) неверна и дайте вариант правильной формулы.