prosdo.ru
добавить свой файл
1

















1АФЧХ

§3. Частотный критерий Михайлова.


Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

(1)

Заменив в Н(р) оператор р на оператор jω, получим вектор Н(jω)

Пусть p1, p2,......, pn - корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде:

или

Н(jω) (2)

Величина (jω-pj) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jω-pi), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов, а фаза – сумма фаз элементарных векторов.

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным, тогда при изменении ω от 0 до ∞ каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол.

j



1

α1

+

(jω-p)

p1=-α1

Пусть p1 - отрицательный действительный корень (“левый”, т. е. слева от мнимой оси), равный “ -α 1”. При изменении ω от 0 до ∞



arg(jω- p1)


т. е. каждый “левый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол в положительном направлении.

Если p2 - положительный действительный корень (“правый”), равный “+α2”,то при изменении ω от 0 до ∞

(jω-p2)

p2=+α2



j

2

+

2

arg(jω- p2)

т. е. каждый “правый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол в отрицательном направлении.


Если p3,4 - корени комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, равные –α3 ± jβ3, то



j

γ

γ

γ

γ

+jβ3

-jβ3

+

–α3

–α3-jβ3

–α3+jβ3

(jω-p4)

p4=–α3-jβ3

(jω-p3)

p3=–α3+jβ3

при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p3) (jω- p4)

т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол +2(π/2).

Если p5,6 - комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные +α4 ± jβ4, то при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p5) (jω- p6)




( jω-р6)





4+ jβ4


j










+jβ4





(jω-р5)




γ






γ


4


4- jβ4



-jβ4



т.е. пара комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол 2π⁄2 в отрицательном направлении.

Анализируя выше изложенные случаи, можно сделать вывод:

Если система устойчива - все корни левые, и каждый даёт поворот на +π⁄2. Произведение векторов (jω-pi)- тоже вектор. При изменении ω от 0 до ∞ его конец описывает кривую, называемую годографом Михайлова.

Следовательно, если все корни левые, угол поворота вектора характеристического уравнения (вектор Михайлова) равен сумме углов поворота векторов (jω-pi), который в свою очередь равен +nπ⁄2. Если же хоть один корень правый, угол поворота вектора Михайлова меньше nπ⁄2, где n- порядок характеристического уравнения.

Таким образом, критерий Михайлова формулируется так:

САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов, не обращаясь в 0, или САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ вектор Михайлова поворачивается на угол nπ⁄2 в положительном направлении, где n- порядок характеристического уравнения.

n=1

α0

+

n=4

n=3

n=2

j

Годограф устойчивых систем

В

α0 кр

+

А

n=3

j

α0


При увеличении статического коэффициента передачи разомкнутой САР, коэффициент а0 растёт и годограф смещается вправо, параллельно самому себе. При некотором а0 кр годограф проходит через начало координат. Это граница устойчивости. Очевидно а0 кр=АВ, т.е. отрезку действительной оси, отсекаемому годографом Михайлова.

2нелинейные системы.


Статикой называется установившийся режим звена или системы, при котором входной и выходной сигналы звена (или системы) постоянны во времени.

Поведение звена (системы) в статике наглядно отражается его статической характеристикой, под которой понимается зависимость между установившимися значениями выходной и входной величин.

y вых. уст. = f (x вх. уст. )

По виду статической характеристики различают линейные и нелинейные звенья. Статическая характеристика линейного звена представляет собой уравнение прямой линии:

yвых

xвх



y0

yвых = kxвх+ yo ,

где k = tg α

Звенья, статические характеристики которых не являются прямыми линиями, называются нелинейными.

В основном все звенья в природе являются нелинейными.

Вопрос линейности статических характеристик имеет чрезвычайно важное значение. Дело в том, что в динамике САР описываются дифференциальными уравнениями. И если в САР входит нелинейное звено, дифференциальное уравнение получается нелинейным. Решение нелинейных дифференциальных уравнений – процесс трудоёмкий и сложный. Поэтому на практике нелинейные элементы заменяют их линейными моделями для облегчения их описания. Этот процесс называется линеаризацией. Итак, линеаризация нелинейного звена – замена его линейной моделью с сохранением основных свойств нелинейного звена. Простейшими методами линеаризации являются метод касательной, метод секущей и кусочно–линейная линеаризация.

При линеаризации касательной полагают, что в процессе работы объекта рабочая точка статической характеристики будет совершать лишь незначительные колебания вокруг номинального режима и, следовательно, характеристику можно заменить касательной к характеристике в точке А (системы стабилизации).


xвх

yвых

y0

y

x

x0

А

tg = k




Для получения уравнения касательной перенесем начало координат в точку А и запишем уравнение касательной в отклонениях от точки номинального режима:

у = kх
Величина - отношение выходной величины к входной – статический коэффициент передачи. Для нелинейных звеньев “к” – величина не постоянная и зависит от положения рабочей точки А.

yвых

xвх

4

А

А

1

2

3

Метод секущей, может быть, применим к объектам, имеющим нелинейную статическую характеристику, кососимметричную относительно начала координат.

Характеристику такого типа можно заменить линейной секущей АА, причём провести её нужно так, чтобы ошибки ∆ 1, 2, 3, 4 были минимальными.



Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде отдельных отрезков прямой линии (1, 2, 3, 4, 5).


5

xвх

1

2

3

4

yвых

Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для конца одного участка является начальным условием для следующего и т.д.

В статике все звенья можно разделить на два больших класса: статические и астатические. Статические звенья – звенья, поведение которых в статике описывается статической характеристикой типа yвых = kxвх


Существует большой класс звеньев, для которых статическую характеристику не удается получить, т.е. в зависимость yвых = f (xвх) входит время. Такие объекты называются астатическими. Условно в качестве статической характеристики для астатических звеньев считают зависимость: т.е. в астатических объектах каждому значению входного сигнала соответствует определенная скорость входного сигнала.
Билет №20

Метод фазовых траекторий.


1
2


3


  1. Устойчивая

  2. На границе устойчивости

  3. Неустойчивая

Билет №21

№1 незнаю

№2 устойчивость…

Тоже что и в 20


Билет №22

№1 Усилительные устройства

§1. Безинерционные (усилительные или статические) звенья.



К безинерционным звеньям относят элементы, которые в динамике описываются дифференциальным уравнением нулевого порядка вида

yвых(t) = kхвх(t), (1)

где k-статический коэффициент передачи звена.

Для получения выражения передаточной функции запишем уравнение (1) в операторной форме (на основании основного свойства преобразования Лапласа:)

yвых(p) = kxвх(p)

По определению передаточная функция находится как отношение выхода ко входу в операторной форме при нулевых начальных условиях:

(2)
Из передаточной функции найдем статический коэффициент передачи звена (в статике все производные равны 0)


Выражение передаточной функции совпадает со статическим коэффициентом передачи, поэтому звено называют статическим.


Из передаточной функции находят переходную и весовую функции в операторной форме:

(3)

Оригинал переходной характеристики находят из таблиц преобразования Лапласа.



Переходная характеристика безинерционного звена имеет вид:

h(t)

t

k
x(t)

t

1
Весовая функция в операторной форме

ω(p)=W(p) (4)

Оригинал весовой функции

ω(t) = L-1 {k } = k (t)

x(t)

t

(t)

t


δ(t)- дельта-функция импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, площадь которого равно 1.

Частотные характеристики звена найдем из выражения комплексной передаточной функции:

(5)

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена имеют вид:

АЧХ:

ФЧХ:

Графическое изображение частотных характеристик представлено на рисунках:

АФЧХ

j

k(=)

+

АЧХ



Aвых()

ФЧХ

вых()



АФЧХ- годограф вектора K(j) в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

№2релейные САУ

Системы в которых один элемент реле, характеристика скачкообразна

Основным режимом таких систем является автоколебания. Качество регулирования определяется параметрами автоколебаний: амплитуда и частота. Для анализа автоколебаний ее структурную схему удобно представить в виде последовательного соединения релейного элемента.

Исследование такой системы сводится к исследованию поведений ее нелинейной части при воздействии на нее прямоугольных импульсов, поступающих с релейного элемента. Можно записать 4 разных уравнений:




Решение этих уравнений по отдельным участкам границы не вызывает сложностей. Обычные однородные дифф-е уравнения. При этом начальные условия уравниваются конечными участками предыдущего участка. При 4 решения, следовательно 4 поведения системы. Это метод припасовывания.

Это метод громозкий и применяется для систем не выше 2 порядка. Для систем более высокого порядка – метод гармонической линеаризации. Суть в том , что если на вход релейного элемента подать sin сигнал с w и x, то на выходе

Ряд Фурье включает разложение в ряд . Линейная часть – фильтр высоких частот , можно рассматривать только с учетом 1 гармоники.
Билет23

№1исполнительные устройства

№2релейные САУ

Основным режимом таких систем является автоколебания. Качество регулирования определяется параметрами автоколебаний: амплитуда и частота. Для анализа автоколебаний ее структурную схему удобно представить в виде последовательного соединения релейного элемента.

Исследование такой системы сводится к исследованию поведений ее нелинейной части при воздействии на нее прямоугольных импульсов, поступающих с релейного элемента. Можно записать 4 разных уравнений:



Решение этих уравнений по отдельным участкам границы не вызывает сложностей. Обычные однородные дифф-е уравнения. При этом начальные условия уравниваются конечными участками предыдущего участка. При 4 решения, следовательно 4 поведения системы. Это метод припасовывания.

Это метод громозкий и применяется для систем не выше 2 порядка. Для систем более высокого порядка – метод гармонической линеаризации. Суть в том , что если на вход релейного элемента подать sin сигнал с w и x, то на выходе получим сигнал в виде прямоугольных волн.

Разложение в ряд Фурье – это сумма гармонических сигналов . Линейная часть – фильтр высоких частот , можно рассматривать только с учетом 1 гармоники.

Билет №24


№1счетно – решающие устройства..

Сложение , вычитание..эффективен ЦВМ ,либо в аналоговых устройствах

№2 цифровые САУ

САУ где заменяются устройства ЦВМ

У этих систем хотя бы в одном звене непрерывно изменяющуюся входному сигналу соответствуют дискретные изменения выходного сигнала такие элементы называются АЦП. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием. Три вида квантования: по времени, по уровню, комбинированный.

По времени – на выходе последовательные импульсы отстающие друг от друга на некоторый интервал времени. По уровню – один или несколько фиксированных значений по амплитуде. Смешанные – цифровые.