prosdo.ru
добавить свой файл
1
1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.


До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность.

Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t[0, T], T лет – срок до погашения облигации, используется понятие стоимости инвестиции в момент t.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно.

Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t[0, T] – это стоимость потока платежей по облигации С1, С2,…,Сn в момент t.

Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t[tm, tm + 1]. Тогда


, (12.1)

где F(tk, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [tkt], k = 1, 2,. .., m; ν(t, tk) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [ttk], k = m + 1,…, n.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации:

Rt =

и рыночную цену облигации в момент t:

Pt =.

Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений:

1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются;

2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Pt .

Тогда


P(t) = Rt + Pt . (12.2)

Очевидно, что Rt определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (tt1), (tt2) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена Pt определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (Tt) лет.

Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно. Пусть t [ tm, tm + 1]. Тогда

Rt = , (12.3)

Pt = , (12.4)

где r(tt1), …, r(t tm) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tt1), …, (t tm) лет соответственно в моменты t1, t2,…, tm;

r(tm + 1 - t), …, r(tn - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tm+1 - t), …, (tn - t) лет соответственно в момент t.

Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):

Срок, годы


1

2

3


4

5

6

Платеж, д.е.

20

20

20

15

15

135

Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:

Ставка, %


17

16

15

15

15,5

16

Срок инвестирования, годы

2,5

1,5

0,5

0,5

1,5

2,5

Момент инвестирования

1

2

3

3,5

3,5

3,5

Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет

Rt = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0,16)1,5 + 20(1 + 0,15)0,5 = 76,0486 (д.е.)

Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет

Pt = = 119,2231(д.е.)


Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).

Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:

1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;

2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными , а затем уже не менялись.

Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P(, t).
Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.

1. P(r, t) и P(, t) – непрерывные возрастающие функции времени:

P(r, t) = , (12.5)

P(, t) =. (12.6)

Действительно, согласно (12.2),

P(r, t) = Rt(r) + Pt(r).

Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и [tm, tm+1]. Тогда планируемая стоимость инвестиции


P(r, t) = + =

= = .

Здесь

P(r) =

– рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.

Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна

P(, t) = Rt() + Pt().

Здесь Rt() – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , Pt() – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:

P(, t) = + =


= = .

Здесь

P() =

– оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации.

(12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей.

2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.

Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P() < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или

P(, 0) < P(r, 0). (12.7)



Рис. 1.12.1

Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда

P(r, tn) = ,

P(, tn) = .

Так как > r, то


P(, tn) > P(r, tn). (12.8)

Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P(, t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках τ1 и τ2. Следовательно

P(1) = P(r, τ1) и P(2) = P(r, τ2).

= и = .

Тогда

.
Отсюда τ1 = τ2 = t*.




Рис. 1.12.2

Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.

P(, t*) = P(r, t*),

= ,


.

Отсюда

t* = . (12.9)

3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).

Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

P(, D) P(r, D) (12.10)

для любых значений .

Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P(, D) = P(r, D).

Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P(, D) является функцией . Согласно (12.6),

P(, D) = .


Продифференцируем это выражение по :

.

Так как = (см. параграф 1.11), то

.

Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D() < D(r) = D. Отсюда P(, D)/ > 0. Значит, P(, D) – возрастающая функция . Следовательно,

P(r, D) < P(, D).

Если < r, то D() > D(r) = D. Тогда P(, D)/ < 0. Значит, P(, D) – убывающая функция . Следовательно,

P(, D) > P(r, D). (12.11)

Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.

Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.

Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r1 < r < r2, то

t*(r2) < D < t*( r1). (12.12)

Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме

P(r1, D) > P(r, D).

Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то


P(r1)(1 + r1)D > P(r)(1 + r)D.

Отсюда

,

.

Так как r1 < r, то P(r1) > P(r), , . Тогда

D < = t*(r1).

Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).





Рис. 1.12.3

Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:

1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;

2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.

В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.

Номер платежа


Срок платежа ti

Сумма платежа Ci

Ci(0)



ti

r = 0,1

r1 = 0,09

r2 = 0,11

1

1

10

9,0909

9,1743

9,0090

0,09091

0,09091

2

2

10

8,2645

8,4168

8,1162

0,08264

0,16529

3

3

110

82,6446

84,9402

80,4311

0,82645

2,47934






Сумма


100,0000

102,5313

97,5563


1,00000

2,73554


Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки D = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна

P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)D = 129,7870.

Фактические стоимости

P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)D = 129,7891.

P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)D = 129,7891.

В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.

2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно

t*(0,09) = = 2,73726

t*(0,11) = = 2,73381.

Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).