prosdo.ru 1
Личное домашнее задание по теории Галуа для 211 группы


Для получения зачёта необходимо решить любые четыре задачи
Домашнее задание для Александра Азбиля

1. Докажите, что любое конечное расширение совершенного поля совершенно.

2. Пусть f - такой многочлен с рациональными коэффициентами, что для любого его комплексного корня x 1/x - тоже корень f. Докажите, что если степень f равна 2m или 2m+1, то порядок его группы Галуа не более m!2m.
3. Пусть p1, p2,…,pk – различные простые числа. Найдите группу Галуа над Q расширения 

4. Вычислите группу Галуа нормального замыкания поля  и покажите, то у нее имеется единственная факторгруппа, изоморфная D3.

5. Пусть F(x) = x4 +qx2 + rx +s - неприводимый над Q многочлен, aj - его комплексные корни.

Найдите корни и коэффициенты его кубической резольвенты.
Домашнее задание для Евгения Варганова

1. Пусть L/K – расширение полей нечётной степени. Докажите, что для любого x ϵ L K(x) = K(x2).
2. Пусть F=Q[a] - нормальное расширение, и минимальный многочлен для a - унитарный с целыми коэффициентами. Предположим, что его редукция неприводима по модулю простого числа p. Докажите, что Gal(L/K) - циклическая.

3. Найдите группу Галуа поля разложения над Q многочлена x5 – 5x + 1.

4. Группа Галуа некоторого неприводимого над Q многочлена изоморфна группе кватернионов. Докажите, что степень этого многочлена равна 8.
5. Пусть L/F - расширение четвертой степени. Доказать, что оно имееет вид L=F [√(a+√b)] тогда и только тогда, когда найдется нетривиальное промежуточное подполе.

Домашнее задание для Егора Гальковского

1. Пусть K – поле ненулевой характеристики p, F = K(x, y) – поле дробно-рациональных функций от двух переменных. Докажите, что в расширении F над K(xp,yp) нет примитивного элемента.

2. Пусть K < F < E, E/K - конечное расширение Галуа. Докажите, что подгруппа в Gal(E/K), отображающая поле G в себя, является нормализатором Gal(E/F) в Gal(E/K), и опишите факторгруппу Gal(E/K) по ней.
3. Найдите группу Галуа поля разложения над Q минимального многочлена числа √(2+i√2).
4. Покажите, что F[√b] погружается в расширение с группой Галуа (Z/4Z)+ в том и только в том случае, когда b - сумма двух квадратов в поле F.
5. Пусть K - конечное поле. Докажите, что для любого n > 1 существует неприводимый многочлен степени n над K, у которого коэффициент при первой степени x отличен от нуля.


Домашнее задание для Алексея Гордеева

1. Опишите все несепарабельные расширения второй степени поля характеристики 2.

2. Пусть a – ненулевой элемент поля F, причём поле F не содержит первообразного корня степени n из 1. Может ли группа Галуа поля разложения многочлена xn – a над полем F быть циклической?

3. Найдите группу Галуа над Q многочлена x5-x4+2.
4. Классифицируйте все расширения поля Q с группой Галуа Z/2Z х Z/2Z.

5. Пусть α и β – корни двух неприводимых кубических полиномов с рациональными коэффициентами. Как проверить, что поля Q[α] и Q[β] изоморфны (сведя вопрос к существованию рационального корня у некоторого полинома)?
Домашнее задание для Анатолия Зайковского
1. Сколько элементов содержит поле разложения многочлена x5 + x4 + 1 над полем из четырёх элементов?

2. Пусть K – поле, причём char K = 2. Докажите, что любое сепарабельное расширение поля K второй степени порождено корнем уравнения вида x2 + x + a = 0, где a ϵ K. Опишите все автоморфизмы (над K) такого расширения.


3. Пусть G – группа Галуа поля разложения над Q многочлена x8-2. Опишите группу G и найдите ядро её действия на корнях четвёртой степени из 1.

4. Пусть L - алгебраически замкнутое поле, g - его автоморфизм. Докажите, что любое конечное

расширение Галуа поля Lg (неподвижного поля автоморфизма g) - циклическое.
5. Пусть b – натуральное число, имеющее остаток 2 при делении на 4,  Найдите группу Галуа расширения  над Q.
Домашнее задание для Тимофея Зубова
1. Пусть K – конечное поле из q элементов, F – его простое подполе. Сколько в K элементов x таких, что F(x) = K? А сколько таких, что K* = ?
2. Пусть K – поле, H – подгруппа группы автоморфизмов поля K(t), порождённая отображениями f и g такими, что f(t) = 1-t и g(t) = 1/t. Найдите неподвижное поле этой подгруппы и группу Галуа поля K(x) над этим полем.

3. Пусть G – группа Галуа поля разложения над Q многочлена x5-2. Опишите группу G и найдите в G какой-нибудь элемент порядка 4 (описав его действие на элементах этого поля).

4. Докажите, что группа Галуа нормального замыкания поля Q[-cos(2π/9)] действует так же, как группа вращений тетраэдра на его ребрах. Найдите в этом поле элемент, удовлетворяющий уравнению четвертой степени.

5. Пусть F(x) = x4 +qx2 + rx +s - неприводимый над Q многочлен, G(x) – его кубическая резольвента. Найдите группу Галуа многочлена F, если порядок группы Галуа многочлена G равен 6.
Домашнее задание для Николая Кучумова

1. Найдите степень поля разложения над Q многочлена x3 + x2-2x-1.

2. Пусть E – поле, G – подгруппа его группы автоморфизмов, K – её неподвижное поле, x ϵ E. Докажите, что x алгебраичен над K тогда и только тогда, когда G-орбита x конечна.

3. Найдите группу Галуа над Q многочлена x4 + x2 + x + 1.

4. При каком условии на числа a и b двухэтажный радикал  выражается через одноэтажные (то есть расширение с группой Галуа D4 вырождается в расширение с группой Галуа V4)?

5. Докажите, что поле вещественных чисел обладает только тождественным автоморфизмом.

Домашнее задание для Михаила Лежнина
1. Пусть F – поле, x - трансцендентный над F элемент поля L. Конечно ли число промежуточных подполей между полями F и F(x)?
2. Пусть a1 = √2, ... an = √(2+an-1). Докажите, что группа Галуа расширения Q(an) над Q имеет порядок 2n.

3. Докажите, что  – расширение Галуа над Q, и найдите его группу Галуа.

4. Решите в радикалах уравнение X5-sX3+(5-2s)X2+sX+3=0 (s – параметр) и вычислите его группу Галуа в терминах действия на корнях.
5. Пусть F(x) = x4 +qx2 + rx +s - неприводимый над Q многочлен, G(x) – его кубическая резольвента. Найдите группу Галуа многочлена F, если порядок группы Галуа многочлена G равен 3.
Домашнее задание для Ильи Некрасова
1. Пусть E – конечное сепарабельное расширение поля F, причём E = F(a,b). Покажите, что E = F(a + yb) для всех yϵ F кроме, быть может, их конечного числа.
2. Пусть K - конечное поле из q элементов, L = K(x) - поле дробно-рациональных функций, G - группа автоморфизмов L над K, отображающих x в (ax+b)/(cx+d) (где a,b,c,d ϵ K, ad-bc ≠ 0). Какой подгруппе группы G соответствует подполе K(xq-x)?

3. Найдите (в зависимости от a,b) группу Галуа поля разложения над Q поля неприводимого над Q многочлена x4-ax2 +b.


4. Докажите, что расширение  с группой Галуа V4 погружается расширение с группой Галуа из восьми единичных кватернионов тогда и только тогда, когда квадратичная форма X2-aY2-bZ2+ab T2 имеет нетривиальный ноль.

5. Пусть A – конечная абелева группа. Докажите, что для некоторого натурального n существует подполе K кругового поля Q(εn) такое, что группа Галуа K над Q изоморфна A.
Домашнее задание для Игоря Пышкина
1. Докажите, что расширение L/Q, в котором для любого элемента x поля L квадратный корень из x тоже принадлежит L, не является конечным.
2. Пусть F – неприводимый над Q многочлен, имеющий комплексный корень с модулем 1. Докажите, что если комплексное число z – корень F, то и 1/z – тоже корень F.
3. Найдите группу Галуа над Q многочлена x6-4x3+1.
4. Докажите, что группа Галуа поля разложения над Q многочлена x7 – 154x + 99 изоморфна PSL(2, 7).

5. Пусть z – первообразный корень третьей степени из 1, F= Q[z], L получено присоединением к F корня третьей степени из какого-то числа. Какой может быть группа Галуа L над Q, если L/Q –расширение Галуа?

Домашнее задание для Кирилла Симонова
1. Выясните (в зависимости от n) какое из полей  и  содержится в другом, и найдите степень расширения большего поля над меньшим.

2. Пусть K - конечное поле из q элементов, L = K(x) - поле дробно-рациональных функций, G - группа автоморфизмов L над K, отображающих x в (ax+b)/(cx+d) (где a,b,c,d ϵ K, ad-bc ≠ 0).

Найдите примитивный элемент для неподвижного поля этой группы (над K).

3. Найдите группу Галуа над Q многочлена x5+10x3-15.
4. Пусть k - поле нулевой характеристики, L/k - конечное расширение, причём поле L алгебраически замкнуто. Докажите, что [L:k] не больше 2, а L получается из k присоединением квадратного корня из -1.
5. Пусть z – комплексный первообразный корень n-ой степени из 1. Найдите группу Галуа поля Q(z + 1/z) над Q

Домашнее задание для Максима Филиппова

1. Пусть z = a+bi - комплексное число, алгебраическое над Q. Докажите, что минимальный многочлен z над Q имеет чётную степень, если число a рационально, а b≠0.
2. Рассмотрим подгруппу автоморфизмов поля дробно-рациональных функций F(T), порожденную преобразованием, отображающим T в (T-1)/(T+1} и её стационарную подгруппу. Выпишите получающееся однопараметрическое семейство многочленов с группой Галуа C4.

3. Найдите группу Галуа поля разложения над Q минимального многочлена числа √(2+√2).
4. Покажите, что любое расширение L/F с группой Галуа Z/3Z получается присоединением корня многочлена X3+aX2+(a-3)X-1. (Для этого найдите элемент g в L, сопряженный с 1/(1-g).)
5. Пусть L - максимальное не содержащее √3 подполе в алгебраическом замыкании поля Q.

Докажите, что любое конечное расширение Галуа поля L имеет циклическую группу Галуа.
Домашнее задание для Константина Цветкова

1. Пусть L – расширение Q, полученное присоединением конечного числа элементов. Докажите, что L содержит лишь конечное число корней из 1.

2. Найдите две пары корней a,b и c,d многочлена x4-2x2-2 такие, что поля Q(a,b) и Q(c,d) неизоморфны.

3. Найдите группу Галуа поля разложения над Q многочлена x5 – 10x4 + 2.

4. При каком условии на числа a и b двухэтажный радикал  выражается через одноэтажные радикалы? Сформулируйте ответ в терминах существования рационального корня у некоторого многочлена.

5. Пусть F(x) = x4 +qx2 + rx +s - неприводимый над Q многочлен, G(x) – его кубическая резольвента, L – её поле разложения. Найдите группу Галуа многочлена F, если порядок группы Галуа многочлена G равен 2, а f неприводим над L.