prosdo.ru 1
Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра

1. Сравните два способа вычисления количества сюръективных линейных отображений.
2. Докажите, что следующие условия равносильны диагонализируемости оператора A (действующего на пространстве V):
а) характеристический многочлен оператора A раскладывается на линейные множители, причём для любого собственного числа A его алгебраическая и геометрическая кратности равны;
б) V – прямая сумма собственных подпространств оператора A.
3. а) Как связаны между собой минимальный многочлен оператора и его сужения на некоторое инвариантное подпространство?

б) Как найти минимальный многочлен оператора, если V – прямая сумма инвариантных относительно A подпространств, и известны минимальные многочлены сужений A на эти подпространства?

в) Докажите, что сужение диагонализируемого оператора на инвариантное подпространство – тоже диагонализируемый оператор.
4. Пусть V – n-мерное пространство, A - оператор на V. Докажите, что пространство V – прямая сумма подпространств Ker(An) и Im(An).

5. («Метод общих элементов»)

Пусть F, G – многочлены от n переменных с целыми коэффициентами, и нужно доказать, что после подстановки любых элементов r1, r2, …, rn из произвольного коммутативного кольца R F(r1, r2, …, rn) = G(r1, r2, …, rn).

Пусть U - некоторое непустое открытое (в стандартной топологии) подмножество в Rn (или в Cn), например, множество точек, не являющихся корнями некоторого многочлена g(x1,x2,…xn). Докажите, что если F и G совпадают как функции на U, то они равны как многочлены и, следовательно, после подстановки любого набора r1, r2, …, rn их значения совпадают.