prosdo.ru
добавить свой файл
1
Домашнее задание по алгебре на завтра для 211 группы

1. Коммутатором элементов x,y называется xyx-1y-1, а коммутантом группы G – подгруппа G(1) = [G. G], порождённая парами элементов G.

Определим последовательные коммутанты: G(n+1) = [G(n) , G(n)].
Нормальным рядом группы G называется последовательность её подгрупп

H0 = {e}, H1, …., Hm = G такая, что для любого j Hj – нормальная подгруппа в Hj+1.
Докажите, что для конечной группы G равносильны следующие условия:
а) для некоторого n G(n+1) = {e};
б) G обладает нормальным рядом, в котором все факторы Hj+1/Hjабелевы группы;
в) G обладает нормальным рядом, в котором все факторы Hj+1/Hj – циклические группы.
Группа называется разрешимой, если эти условия выполнены.

2. Пусть H – нормальная подгруппа конечной группы G.

Докажите, что следующие условия эквивалентны:

а) G – разрешимая группа; б) H и G/H – разрешимые группы.

3. Разрешимы ли следующие группы: Dn, Sn, конечные p-группы?