prosdo.ru 1 2 3
  1. Задача о Брахистохроне


В 1996 году Иоганн Бернулли поставил и решил задачу о кривой скорейшего спуска, которая им была названа Брахистохроной. Эта кривая y(x) должна проходить через начало координат (рис.1), а материальная точка должна под действием силы тяжести спускаться по этой кривой за наименьшее возможное время достигнув точки с абсциссой Вскоре задача о Брахистохроне была решена Исааком Ньютоном (за одну ночь), Готфридом-Вильгельмом Лейбницем, маркизом де Лопиталем и старшим Бернулли (Якобом). В следующем году все решение были опубликованы Иоганном Бернулли.



Рис.1 Брахистохрона

Для математической постановки задачи найдем зависимость времени скатывания от вида кривой скатывания. Из равенства кинетической энергии и изменения потенциальной энергии получим:



В формуле (1) масса скатывающегося тела, ускорение свободного падения, скорость тела, ордината точки траектории тела.

Найдем - проекцию на ось абсцисс скорости тела:



Но квадрат тангенса в (2) совпадает с квадратом производной Поэтому из (2) получим:


Время ската из точки до нижней точки можно найти в виде следующего интеграла:




Из (3) подставим в (4) проекцию скорости и получим:



Таким образом, получено, что требуется подобрать функцию , чтобы сделать наименьшим число В таких случаях говорят, что требуется минимизировать функционал (5). Функционалом называется зависимость числа от функции. Освободимся от коэффициента перед интегралом в формуле (5). При этом вариационная задача примет следующий вид:



Вопросы, упражнения и задачи к пункту 1


  1. Функционал (6) называется интегральным. Приведите пример функционала иного вида.

Указания к вопросам, упражнениям и задачам пункта 1

  1. Функционалы могут иметь вид где заданное число. Такие функционалы называются терминальными.



  1. Простейшая вариационная задача. Функционалы

    1. Вывод формулы для вариации

Задача на минимум интегрального функционала вида (7) называется простейшей вариационной задачей. В такой задаче график функции

проходит через точки плоскости и Эти точки могут быть установленными в вариационной задаче с закрепленными концами, или могут принадлежать некоторым кривым в задаче с подвижными концами.

При этом нужно, чтобы функционал


принимал наименьшее значение. Задача на минимум интегрального функционала (7) называется простейшей вариационной задачей.


Пусть - оптимизирующая функция, доставляющая минимум функционала (7). Тогда функция уже не будет оптимальной. Функция называется вариацией функции (термин Л.Эйлера). Из условия минимальности функционала при функции, равной получим:





Из (8) получим:



Левая часть неравенства (9) называется приращением функционала (7). Заметим, что неравенство (9) справедливо при всех видах функции .

Считая, что функция имеет дифференциал, получим:





Отметим, что следуя обозначениям Л.Эйлера, будем писать:



Для упрощения вида приращения функционала (9), рассмотрим следующий интеграл:



Используем равенства (10) и (11) в неравенстве (9) и получим:



Выражение называется вариацией функционала (7).

2.2 Задача с закрепленными концами. Уравнение Эйлера

Если значения функции жестко установлены:

то говорят, что перед нами вариационная задача с закрепленными концами.

Среди всех функций, графики которых проходят через точки , надлежит найти такую, для которой функционал (7) принимает наименьшее значение. Поскольку в этом случае функции проходят через одни и те же точки на концах интервала, то их разность – вариация равна нулю на этих концах отрезка интегрирования. Поэтому из (6) получим:



Если выполняется условие (13) в виде строгого неравенства для произвольной вариации то для противоположной вариации вариация функционала меняет свой знак на противоположный. Поэтому неравенство (13) возможно лишь при условии



Причем равенство (14) должно соблюдаться при любых

Для получения нужного условия оптимальности функции из условия (14) нам понадобится следующая лемма.

Лемма Лагранжа. Если для некоторой непрерывной функции и любой непрерывно дифференцируемой функции выполняется условие



то

Доказательство

Если отлична от нулевой константы, то найдется такая точка отрезка в которой функция отлична от нуля. Тогда, из непрерывности функции следует, что в некоторой окрестности точки функция имеет тот же знак, что и Это значит, что




В качестве функции выберем следующую функцию:



Заметим, что функция непрерывно дифференцируема на отрезке

Из (16) получим:



Неравенство (18) противоречит равенству (9). Следовательно, функция является нулевой константой.

Следствие из Леммы Лагранжа. Если является функцией, доставляющей экстремум (минимум или максимум) функционалу (7) с закрепленными концами, то должно выполняться следующее условие:



Условие (19) называется уравнением Эйлера. Оно было впервые им опубликовано в 1744 году.

Доказательство

Из леммы Лагранжа и из формулы (8) следует равенство нулю выражения в скобках в (14). Это и есть уравнение Эйлера (19).

Замечание 1. Уравнение Эйлера можно переписать следующим образом, раскрыв полную производную по независимой переменной:


Уравнение (19) является необходимым условием экстремума. Его решения функции называются экстремалями. Уравнение (19) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно неизвестной функции Для нахождения решения в задаче с закрепленными концами помимо уравнения (19) необходимо учитывать и так называемые условия на концах отрезка интегрирования:




Пример 1. Пусть требуется решить следующую вариационную задачу:



Решение

Подставим в уравнение Эйлера (19) и решим его:



Неопределенные постоянные определим из начальных условий:



Ответ:


    1. Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера

  1. Подынтегральная функция не зависит от

В этом случае уравнение (20) примет следующий вид:



Если умножить левую и правую части (23) на то получим:





Пример 2. Решение задачи о Брахистохроне.

Решение

Из формулы (6) и из (24) получим:





Преобразуем дифференциальное уравнение (25):



Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения сделаем следующую замену зависимого переменного:




С другой стороны из(27) получим:



С помощью (28) и (29) получим:



Учитывая, что (из начального условия и из (27)), получим: Объединяя (27) и (28) окончательно найдем:



Константа может быть найдена из краевых условий:



Система (30) дает уравнение циклоиды – развертки окружности. Из-за направленности оси ординат вниз на рис. 1 Брахистохрона является перевернутой циклоидой в обычных осях координат.


  1. Подынтегральная функция не зависит от

В этом случае уравнение Эйлера (19) принимает следующий вид:



Если кем-либо разрешена проблема выражения функции из неявно задающего ее равенства (32), то полученное простейшее дифференциальное уравнение типа



решается обычным интегрированием.

Пример 3. Требуется решить следующую вариационную задачу:



Решение

Воспользуемся формулой (32) и получим:


Найдем неопределенные постоянные с помощью начального и конечного условий:




Ответ:


  1. Подынтегральная функция зависит только от

Это частный случай случая 2. Здесь получается уравнение Эйлера следующего вида:



Если удастся разрешить это уравнение относительно , то окажется, что



В этом случае экстремаль является линейной функцией проходящей через краевые точки.

Пример 4. Требуется решить следующую вариационную задачу:



Решение

Найдем линейную функцию , график которой проходит через краевые точки



Ответ:

  1. Подынтегральная функция не зависит от

В этом сильно вырожденном случае уравнение Эйлера имеет следующий вид:



В общем случае это уравнение дает лишь дискретное множество функций среди которых нельзя подобрать ту, что удовлетворяет условиям на концах интервала интегрирования. Поэтому, обычно вариационная задача не имеет решения.



следующая страница >>