prosdo.ru
добавить свой файл
1


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический университет

имени И.Н. Ульянова»


Кафедра физики

Элементарная физика

Лабораторная работа № 3

Изучение закона нормального распределения

случайных отклонений на механической модели

Ульяновск, 2012

Цель работы: экспериментальное ознакомление с законом нормального распределения случайных величин.

Оборудование: доска Гальтона, сыпучий материал - зерна пшена, линейка.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Случайными называются события, на исход которых влияет очень большое число неподдающихся контролю факторов. К такому типу явлений, например, относятся случайные погрешности (Помимо них могут иметь место приборные и систематические погрешности.), возникающие при измерении любой физической величины. Наиболее распространенным законом распределения случайных величин является так называемый закон нормального распределения, или закон Гаусса. При нормальном распределении значения измеряемой величины сосредоточены, в основном, вблизи ее среднего значения. Отклонения от среднего в сторону больших и меньших значений (x и -x) равновероятны, причем, с ростом модуля величины отклонения от среднего эта вероятность убывает, стремясь к нулю при |x| →∞. Пусть в ΔNx случаях из общего числа N измерений отклонение от среднего значения измеряемой величины попало в интервал от x до x+Δx. Величина ΔNx/N называется относительной частотой (а в пределе при N→∞ вероятностью ΔPx) того, что отклонение от среднего значения окажется в интервале от x до x+Δx. На рис. 1а по оси x отложены вправо и влево от начала отсчета (возможны положительные и отрицательные отклонения от среднего) полоски шириной Δx и высотой




Полученная ступенчатая диаграмма называется гистограммой. Площадь полоски с координатой x равна ΔPx, а площадь всей гистограммы – единице. Действительно:



Гистограмма наглядно характеризует вероятность получения отклонений случайной величины от ее среднего значения, заключенных в различных интервалах ширины Δx . Чем меньше ширина интервала Δx, тем детальнее будет охарактеризовано распределение вероятностей отклонений случайной величины от ее среднего значения. В пределе при Δx →0 ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис. 1б). Функция

определяющая аналитически эту кривую, называется функцией распределения вероятностей (или, для краткости, функцией распределения, законом распределения). Для нормального распределения (закон Гаусса) эта функция имеет вид:

(3)

Среди закономерностей в распределении случайных величин особое положение занимает нормальное (гауссово) распределение по следующим причинам. Во-первых, теория предсказывает, что распределение должно быть нормальным (гауссовым), если на результат измерения действует большое число независимых случайных факторов (как это и бывает чаще всего в физическом эксперименте). Во-вторых, при произвольной(!) функции распределения отдельного измерения, распределение средних все равно будет почти гауссовым при не слишком малом числе измерений в серии (а чаще всего и оценивают величину по среднему из нескольких измерений).

Для нормального распределения характерно, что:

- при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;


- вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Зная явный вид функции f(x), можно рассчитать вероятность того, что результат отдельного измерения попадет в любой, наперед заданный интервал значений измеряемой величины, от a до b:

(4)

Эта вероятность равна площади под графиком f(x) в пределах указанного интервала. Очевидно, вероятность того, что результат отдельного измерения попадет в интервал от -∞ до +∞ должна равняться 1, т.к. это уже есть достоверное событие:

(5)

Условие (5) называется условием нормировки функции f(x). Функция (3) задана двумя параметрами X и σ, смысл которых ясен из следующих расчетов:

1) Найдем среднее значение переменной x:



Введем новую переменную: , . Учтем, что интеграл от нечетной функции равен нулю, а . Тогда получим:



Практическая ценность этого результата в том, что при большом числе измерений среднее значение результатов всех измерений будет мало отличаться от истинного значения измеряемой величины.

2) Найдем среднее значение квадрата погрешности (отклонения) (x-X)2:



интегрируя по частям, получим:


То есть параметр есть не что иное как среднеквадратичное отклонение, которое при большом числе измерений может быть оценено по формуле:

(6)

Кроме того, при x = X ± σ функция (3) имеет точки перегиба см. рисунок). Докажите это самостоятельно, воспользовавшись условием, что в этих точках вторая производная функции обращается в ноль.

Найдем вероятность попадания результата единичного измерения внутрь интервала [X-σ;X+σ]:



Таким образом, параметр σ характеризует полуширину кривой гауссова распределения между точками перегиба (приблизительно на 0,6 от ее максимальной высоты), являясь мерой «расплывания» функции и, кроме того, указывает границы доверительного интервала, внутрь которого с вероятностью ≈ 68% должен попасть результат однократного измерения величины x. Величину σ называют среднеквадратичной (стандартной) погрешностью или среднеквадратичным (стандартным) отклонением.

В дальнейшем нам понадобится случай, когда =X=0. Соответственно функция (3) и параметр σ запишутся следующим образом:

(7)

(8)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Изучение закона нормального распределения погрешностей проводится на механической модели, называемой доской Гальтона. Установка состоит из вертикальной доски 1, на которой закреплены в шахматном порядке стержни 2, служащие для рассеивания шариков, поступающих из хранилища 3, расположенного вверху доски. Под стержнями расположены одинаковые ячейки, разделенные перегородками одинаковой высоты 4. Шарики удерживаются в хранилище стерженьком 5, закрывающим отверстие, через которое шарики высыпаются из хранилища. Лицевая часть доски закрыта стеклом.






Зерна сыпучего материала, например, пшена, падая из воронки, неоднократно ударяются о штырьки и отклоняются от вертикального направления. Положительные и отрицательные направления отклонения равновероятны. Вследствие большого числа таких рассеивающих центров, зерна могут попасть в любую из ячеек. Если каждой ячейке присвоить определенный номер (координату x =...,-5,...,0,...,5,...), то можно говорить о распределении зерен по координатам (ячейкам) xi. Число xi (случайная величина - номер ячейки, в которую попадет зерно) дает значение отклонения расположения зерна от среднего положения, принятого за ноль - начало координат. Вероятность попадания зерна в i-ю ячейку может быть оценена как отношение числа зерен, попавших в эту ячейку - ni, к общему числу всех высыпанных зерен N.

(9)

Роль плотности вероятности f(x) в данном случае будет играть отношение

(10)

где Δx - ширина ячейки, которая в нашем случае выбирается за единицу.

Условие нормировки будет иметь вид:



Число зерен в i-ой ячейке можно выразить через уровень зерна в этой ячейке: ni = ayi, где a - коэффициент пропорциональности. Общее число зерен во всех ячейках:



Эмпирическое значение плотности вероятности можно найти из отношения:

, т.к. Δx=1 (11)


Теоретическая зависимость распределения зерен по ячейкам при большом числе зерен и бесконечно узких ячейках будет гауссовой:

(12)

где ϭ (см. формулу 8) с учетом того, что каждое отклонение xi , а следовательно и каждое значение xi2 входит в данную серию измерений n раз (где ni = аyi), запишется следующим образом:



ХОД ЭКСПЕРИМЕНТА


  1. Опыт проводится сначала с плато, на котором имеется три ряда штырьков (малое число рассеивающих центров имитирует в данном случае малое число случайных факторов). Через воронку равномерно высыпается зерно до тех пор, пока одна из центральных ячеек не заполнится почти доверху. Линейкой измеряются высоты yi заполнения ячеек. Результаты измерений заносятся в таблицу 1.

Таблица 1

xi

yi



-13



0



+13










yi



Величина xi отсчитывается относительно центра (x = 0), лежащего на оси непосредственно под отверстием воронки. По данным таблицы 1 строится гистограмма (она получается в виде "ступенчатой" линии). На горизонтальной оси откладываются в масштабе значения xi , а по вертикальной - соответствующие значения f(x). Определите по виду гистограммы, похоже ли распределение на гауссово, и объясните, по каким признакам вы это установили. Сделайте окончательный вывод, является ли распределение зерен в этом опыте нормальным (гауссовым).


  1. Опыт проводится с плато, на котором расположено двенадцать рядов штырьков (много случайных факторов). Результаты заносят в таблицу 2.

Таблица 2

xi

yi(1)

yi(2)

yi(3)





-13



0



+13
































Повторяют измерения не менее трех раз с одинаковым количеством пшена, y рассчитывается как среднее значение в каждом столбце из трех измерений. По данным таблицы строится гистограмма f(x) от x . На этом же графике другим цветом строится теоретическая зависимость f(x) по формуле (12) (она имеет вид плавной кривой). Для построения этого графика следует заполнить таблицу 3 и расчитать предварительно значение множителя .


Таблица 3


xi

xi2

xi2









-13



0



+13







σ=













=















Определите по близости экспериментальной гистограммы и кривой нормального распределения, близко ли распределение к гауссову. Нанесите на график границы интервала ±σ и определите из экспериментальной гистограммы вероятность попадания зерен внутрь этого интервала. Сравните полученные результаты с теоретическими. Сделайте окончательный вывод, является ли распределение зерен в этом опыте нормальным (гауссовым).


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ


  1. Какие погрешности называют случайными?

  2. Что описывает распределение Гаусса, каковы его свойства, при каких условиях оно реализуется на практике?

  3. Каков смысл параметров, входящих в нормальное распределение?

  4. Как рассчитываются средние значения физических величин, если известна функция плотности вероятности?

  5. Используя явный вид функции распределения, рассчитайте, чему равно среднее значение величины, дисперсия и среднеквадратичное отклонение для нормального распределения.

  6. Как оцениваются среднее значение и среднеквадратичная погрешность по результатам измерений?

  7. Считаете ли Вы, что генеральная совокупность в опыте с тремя рядами штырьков имеет гауссово распределение? В чем причина этого?

  8. Считаете ли Вы, что генеральная совокупность в опыте с двенадцатью рядами штырьков имеет гауссово распределение? В чем причина этого?