prosdo.ru
добавить свой файл
1
ЛЕКЦИЯ 18

5.5.1. Системы с нагруженным резервом при

экспоненциальном распределении наработки

элементов до отказа
Рассмотрим частный случай системы с нагруженным резервом, в которой каждая подсистема (элемент) имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа.
Для i-й подсистемы вероятность безотказной работы в течение времени t имеет вид

(5.27)

где – интенсивность отказов.
Тогда вероятность безотказной работы системы определим как

(5.28)
Следует отметить, что в данном случае (т.е. при параллельном соединении подсистем) распределение наработки системы до отказа не является экспоненциальным, хотя подсистемы имеют экспоненциальное распределение.
Если все подсистемы одинаковые, т.е. , то

(5.29)
Пример 5.6
Требуется определить вероятность безотказной работы систем , состоящих из двух, трех и четырёх однотипных постоянно включённых подъёмников, если отказы подъёмников независимы, а распределение их времени безотказной работы гипотетически подчиняется экспоненциальному закону.

Решение
По формуле (5.29) найдём вероятность безотказной работы систем из двух, трёх и четырёх подъёмников соответственно:



Тогда среднее время безотказной работы систем из двух подъемников определим по формуле


где – среднее время безотказной работы элемента (подъёмника) при экспоненциальном распределении наработки на отказ.
Аналогично найдем для систем из трёх и четырёх подъёмников:


В общем виде для n одинаковых элементов (подсистем), работающих параллельно, получаем:


или



где

При большом n



где С = 9,577… – постоянная Эйлера.

5.5.2. Модели безотказности систем с распределением

нагрузки
В системе с распределением нагрузки по параллельным элементам при проявлении отказа увеличивается интенсивность отказов элементов, продолжающих работать.
Практически это имеет место и в рассмотренной системе, поскольку с каждым отказом одного подъёмника увеличивается нагрузка на другой или другие подъёмники.
Поэтому с каждым последовательным отказом увеличивается интенсивность отказов, а система с распределением нагрузки при параллельном соединении элементов фактически является динамической, а не статической моделью.

Одной из форм структурного резервирования является система «r» из «n».

В такой системе имеется n параллельно соединённых элементов, причём, чтобы система продолжала работать безотказно, должны сохранять работоспособность не менее r элементов.
Примером такой формы структурного резервирования являются несущие канаты кабины и противовеса подъёмника.
Вероятность безотказной работы системы «r» из «n» имеет вид


где Р – вероятность безотказной работы элемента (подсистемы), предлагаемая одинаковой для всех подсистем; n – общее число параллельно соединённых элементов (подсистем); r – наименьшее число элементов, которые должны сохранять работоспособность для того, чтобы система продолжала работать безотказно; х – число рассматриваемых отказов (отказавших элементов); – число способов появления х отказов.
Например, если n = 5 и х = 2, то имеем способов появления отказов, когда выходят из строя два элемента (подсистемы), а общее число различных способов появления отказов равно:


5.6. Сочетание параллельного и последовательного

соединений элементов
Последовательно-параллельным соединением называют последовательное соединение нескольких подсистем параллельно соединённых элементов (рис. 5.15).



3

4

1

2





Рис. 5.15. Система с последовательно-параллельным соединением элементов 1-4



Для вычисления надёжности такой системы вначале объединяют параллельно соединённые элементы подсистемы, а затем рассматривают последовательное соединение эквивалентных элементов.


Пример 5.7.
Под элементами будем понимать насосы, устанавливаемые на насосной станции водоснабжения.
Пусть, например, известны показатели надёжности элементов:

Тогда вероятность безотказной работы последовательно соединенных эквивалентных элементов определим в виде


Вероятность безотказной работы системы равна:



Параллельно-последовательным соединением будем называть параллельное соединение нескольких подсистем последовательно соединенных элементов (рис. 5.16).



1

3

2

4




Рис. 5.16. Система с параллельно-последовательным соединением элементов 1-4


В этом случае вначале объединяются последовательно соединённые элементы подсистем, а затем рассматриваются параллельно соединённые эквивалентные элементы.

Пусть элементы имеют такую же надёжность (безотказность), как и в предыдущем примере. Вероятность безотказной работы параллельно соединённых эквивалентных элементов равна:

Тогда вероятность безотказной работы системы: