prosdo.ru 1

Красс Э., Левитас Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений


Рпрямоугольник 2ешение текстовых задач с подсказками
Задание 1. Длина одного отрезка на 4 см меньше длины другого. Если длину меньшего отрезка увеличить в 2 раза, а длину большего отрезка увеличить на 6 см, то длины отрезков будут равны. Найдите длину меньшего отрезка.

Решение. Обозначим через x длину меньшего отрезка. Тогда длина большего отрезка равна х + __.

По условию задачи длину меньшего отрезка увеличили в __ раза, что можно записать как 2х. А длину большего отрезка увеличили на __ см, что можно записать как (х + 4) + __.

После этих изменений длины отрезков стали __________. Можно составить уравнение
2х __ (х + 4) + 6.

Решим это уравнение: 2х = х + __ + __,

2х = х + __.

Так как корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части __________________ в другую, изменив при этом его ________, то получим уравнение

х = ____.

Ответ: длина меньшего отрезка ____ см.

Задание 1(а). Длина одного отрезка на 6 см больше длины другого. Если длину большего отрезка увеличить в 2 раза, а длину меньшего увеличить на 24 см, то длины отрезков будут равны. Найдите длину большего отрезка.

Решение. Обозначим через x длину большего отрезка. Тогда длина меньшего отрезка будет равна х __ 6.

По условию задачи длину большего отрезка увеличили в __ раза, что можно записать как 2 __. А длину меньшего отрезка увеличили на ____ см, что можно записать как (х – 6) + ____. После этих изменений длины отрезков стали __________. Можно составить уравнение
2х = (х – __) + ____.

Решим это уравнение: 2__ = __ – __ + ____,


__х = х + ____.

Так как корни уравнения не ____________________, если какое-нибудь слагаемое __________________ из одной части __________________ в другую, изменив при этом его ________, то получим уравнение х = ____.

Ответ: длина большего отрезка ____ см.

Задание 2. Одно число меньше другого на 15. Если увеличить меньшее число в 6 раз, а большее в 3 раза, то полученные числа будут равны. Найдите меньшее число.

Решение. Обозначим меньшее число буквой x. Тогда большее число равно х + ____.

По условию задачи меньшее число увеличили в 6 раз, что можно записать как 6х. А большее число увеличили в __ раза, что можно записать как 3(х + ____).

После этих изменений получили ____________ числа, поэтому можно составить уравнение

6х __ 3(__ + 15).

Решим это уравнение, раскрыв в нем скобки: 6х = 3х + ____.

Так как корни уравнения не ____________________, если какое-нибудь слагаемое __________________ из одной части __________________ в другую, ______________ при этом его знак, то уравнение 6х = 3х + 45 можно записать так: 3х = ____.

Так как корни уравнения не ____________________, если обе части уравнения ________________ или разделить на одно и то же __________, не равное ________, то получим что х = ____.

Ответ: меньшее число ____.

Задание 2(а). Одно число больше другого на 3. Если увеличить меньшее число в 10 раз, а большее в 5 раз, то полученные числа будут равны. Найдите меньшее число.

Решение. Обозначим меньшее число буквой x. Тогда большее число равно __ + __.

По условию задачи меньшее число увеличили в ____ раз, что можно записать как __ ______. А большее число увеличили в __ раз, что можно записать как 5(х + __).

После этих изменений получили ____________ числа, поэтому можно составить __________________: 10х = __ (__ + __).


Решим это уравнение, раскрыв в нем скобки: 10__ = __х + ____.

Откуда 5х = ____ и х = ____.

Ответ: меньшее число ____.

Задание 3. В первой бочке в 3 раза больше воды, чем во второй. Если из первой бочки перелить 30 л во вторую, то воды в обеих бочках будет поровну. Сколько воды в каждой бочке?

Решение. Обозначим через х количество воды во второй бочке. Тогда в первой бочке было ____ литров воды.

Если из первой бочки отлить 30 л, то в ней станет 3х __ 30 л воды.

Если во вторую бочку добавить __ л, то в ней станет __ + ____ л воды.

После этого воды в обеих бочках станет поровну. Составим уравнение:
__ х – ____ = х + ____.

Решим это уравнение: 3х – ____ = х + ____,

3х __ х = 30 ______,

2х = ____,

х = ____.

Ответ: во второй ____ л, в первой ____ л.

Задание (а). В первой бочке в 2 раза меньше воды, чем во второй. Если в первую бочку добавить 15 л воды, а из второй откачать 10 л, то воды в обеих бочках будет поровну. Сколько воды в каждой бочке?

Решение. Обозначим через х количество воды в первой бочке.
Тогда во второй бочке ____ л воды.

Если в первую бочку добавить 15 л, то в ней станет __ + ____ л воды.

Если из второй бочки откачать 10 л, то в ней станет __х – ____ л воды.

После этого воды в обеих бочках станет поровну. Составим __________________:

__х – ____ = __ + ____.

Решим это уравнение: 2__ – ____ = х + ____,

2__ – х = ____ + ____,

__ = ____.

Ответ: в первой ____ л воды, во второй ____ л.

Задание 4. Трактор прошел расстояние от одного пункта до другого за 1 час, а автобус прошел это расстояние за 0,75 часа. Найдите скорость трактора, если известно, что она меньше скорости автобуса на 10 км/ч.


Решение. Обозначим через х скорость трактора.

Тогда скорость автобуса _+___.

Расстояние, пройденное трактором, равно произведению его скорости на время его движения, то есть х · 1, или просто х.

Расстояние, которое прошел автобус, равно произведению скорости автобуса на время его в пути, то есть ( _ + ___) · 0,75, или 0,75( _ + ___).

Так как трактор и автобус прошли одно и то же расстояние, то составим уравнение:

х = 0,75( _ + ___ ).

Решим это уравнение: х = 0,75( _ + ___ ),

х = 0,75 _ + 0,75 · ___,

х – 0,75_ = _ , ___ · ___,

0,25_ = _ , _,

х = _ , _ : 0,25,

х = ___.

Ответ: скорость трактора ___ км/ч, автобуса ___ км/ч.

Задание 4(а). Автомашина проехала расстояние от пункта А до пункта В за 0,8 часа, а обратный путь за 1 час. Найдите скорости, с которыми двигалась автомашина от пункта А до пункта В и обратно, если известно, что обратно автомашина двигалась на 20 км/ч медленнее, чем от А до В.

Решение. Обозначим через х меньшую скорость автомашины, то есть ее скорость при движении от пункта В до пункта А. Тогда от пункта А до пункта В автомашина двигалась со скоростью _ + __ км/ч.

Путь от пункта А до пункта В равен 0,8( _ + ___ ). А путь от пункта В до пункта А равен _.

Так как путь от А до В равен пути от В до А, то можно составить уравнение:
х = 0,8( _ + ___ ).

Решим это уравнение: х = 0,8( _ + ___ ),

х = 0,8 _ + 0,8 · ___ ,

х – 0,8 _ = _ , _ · ___ ,

0,2_ = ___ ,

х = ___.

Ответ: скорость от А до В ___ км/ч, скорость от B до A ___ км/час.


Задание 5. Половина учащихся класса ответила правильно на все пять вопросов учителя, треть учащихся ответила правильно только на четыре вопроса учителя, а остальные четыре учащихся смогли ответить правильно только на три вопроса учителя. Сколько учащихся в этом классе?

Решение. Обозначим буквой х количество всех учащихся в классе. Тогда  — число учащихся, которые правильно ответили на пять вопросов учителя,  — число учащихся, которые правильно ответили на четыре вопроса учителя, _ — число учащихся, которые правильно ответили на три вопроса учителя.

Теперь можно составить уравнение:

Решим это уравнение:



6х – 3_ – _х = ___,

х = ___.

Ответ: ___ учащихся.

Задание 5(а). В коллекции одна треть марок посвящены покорению космоса, одна четвертая часть – спорту. На одной пятой части этой коллекции изображены бабочки, на остальных 13 марках изображены дикие животные. Сколько всего марок в этой коллекции?

Решение. Обозначим буквой х количество всех марок в коллекции. Тогда  — количество марок, посвященных покорению космоса,  — количество марок, посвященных спорту, _х — количество марок, на которых изображены бабочки, ___ — количество марок, на которых изображены дикие животные.

Составим уравнение:


Решим это уравнение:



60х – 20_ –15_ – 12_ = _____,

13х = _____,

х = _____: ___,

х = ___.

Ответ: ___ марок.


Журнал «Математика» № 03/2013