prosdo.ru
добавить свой файл
1
Казанский государственный технический университет им. А.Н.Туполева

Институт Радиоэлектроники и Телекоммуникаций
Кафедра РИИТ

Расчетно-Графическая работа
по дисциплине:
«Метрология и радиоизмерения»
Вариант № 3

выполнил:


проверил: доцент

Казань
Задача № 1

Произвести статистическую обработку ряда наблюдений измеряемой величины с учётом объёма этого ряда. Выявить и исключить промахи, в результатах наблюдений выдвинув (если возможно) гипотезу о законе распределения с заданной доверительной вероятностью. Определить значение результата измерения, предполагая отсутствие систематической погрешности. Определить случайную среднеквадратическую погрешность результата измерения. Построить гистограмму результатов наблюдений. Сделать вывод о правомерности, выдвинутой ранее гипотезы.


Вар.

Доверит.

вероятность


Набор ряда наблюдений

3

0,95

482,502,494,497,504,486,519,492,499,461,489,559,493,

491,481,510,505,490,490,502,491,476,466,506,514,522.


Решение:


  1. Т.к. по условию задачи предполагается отсутствие систематической погрешности, то:

, тогда — исправленный ряд измерений

2. По исправленным результатам измерений определяем их среднее арифметическое значение

Найденное среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания при нормальном распределении результатов наблюдений, а также состоятельной и несмещенной оценкой при любых симметричных (относительно ) распределениях, т.е. .


  1. Оценим случайную погрешность каждого отдельного измерения:

Если выполняется условие , то пункты 2 и 3 вычислены правильно.∑

Строим вариационный ряд

n = 26 ; ;

таблица 1

n







1

461

-35.96

1293.12

2

466


-30.96

958.52

3

476

-20.96

439.32

4

481

-15.96

254.72

5

482

-14.96

223.80

6

486

-10.96

120.12

7

489

-7.96

63.36

8

490

-6.96

48.44

9

490

-6.96

48.44

10

491

-5.96

35.52

11

491

-5.96

35.52

12

492

-4.96

24.60

13

493

-3.96

15.68


14

494

-2.96

8.76

15

497

-0.04

0.0016

16

499

2.04

4.16

17

502

5.04

25.40

18

502

5.04

25.40

19

504

7.04

49.56

20

505

8.04

64.64

21

506

9.04

81.72

22

510

13.04

170.04

23

514

17.04

290.36

24

519

22.04

485.76

25


522

25.04

627

26

559

62.04

3848.96














  1. Находим СКО однократных измерений:

=

где — оценочное значение СКО.

Очевидно, что с увеличением числа наблюдений n возрастает точность оценок и . Разность характеризует случайную погрешность определения математического ожидания, т.е. случайную погрешность результата n-кратного измерения. Очевидно, что случайная погрешность также имеет некоторое среднеквадратическое отклонение . Его оценка определяется соотношением



из которого следует, что результат n-кратного измерения имеет в раз меньше СКО по сравнению с результатом единичного измерения .

Следует иметь в виду, что если среди результатов измерений имеются отдельные измерения, резко отличающиеся от остальных в большую или меньшую сторону, прежде всего следует проверить, не являются ли эти результаты или промахами, связанными с опиской, ошибкой в снятии показаний и т. п. Если промахи не установлены, следует проверить, не являются ли эти результаты грубыми погрешностями. Проверка проводится статистическим методом и сводится к сравнению нормированного отклонения или с максимальным маловероятным нормированным отклонением результата наблюдения , которое могло бы иметь место при данном распределении и числе наблюдений . Малая вероятность такого отклонения задается уровнем значимости , определяющим вероятность нахождения случайной величины между %-ным квантилем и . Значение обычно выбирают от 1 до 10%. Значения для нормального распределения при заданных и приведены в таблице 1

таблица 2






= 10%

= 5%

= 2,5%

= 1%

5

15

25

26

1,731

2,326

2,537

2,553

1,869

2,493

2,717

2,734

1,917

2,638

2,880

2,97

1,955

2,808

3,071

3,089


Если указанной отклонение проверяемого результата наблюдения оказывается больше , его следует считать грубой погрешностью, которая, как и промах, должна быть исключена их полученной совокупности результатов наблюдения. После этого следует повторить их обработку с учетом меньшего числа .

Для или , находим . Проведём исключение грубых ошибок

x(1) =xmin = 461, x(26) = xmax = 559

При этом: tmin= |xmin-|/σ , tmax= |xmax-|/σ.

Проверяем:

Сравним, не является грубой ошибкой.

Сравнимявляется грубой ошибкой



Таким образом, , следовательно, = 461

не является грубой ошибкой и остаётся в выборке;

, следовательно, = 559

является грубой ошибкой и исключается из выборки.

, следовательно, = 522 не является

грубой ошибкой, остаётся в выборке и становится

Строим новый вариационный ряд, исключающий грубые ошибки, где:


= 461=522=25 повторим обработку результатов наблюдения с учетом меньшего числа .
Выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения ряда наблюдений с заданной доверительной вероятностью
- По исправленным результатам измерений определяем их среднее арифметическое значение



Найденное среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания при нормальном распределении результатов наблюдений, а также состоятельной и несмещенной оценкой при любых симметричных (относительно ) распределениях, т.е. .

- Оценим случайную погрешность каждого отдельного измерения:


Строим вариационный ряд таблица 3


n






1

461

-35.96

1293.12

2

466

-30.96

958.52

3

476

-20.96

439.32

4

481

-15.96

254.72

5

482

-14.96

223.80

6

486

-10.96

120.12

7

489

-7.96

63.36

8

490

-6.96

48.44

9

490

-6.96

48.44

10

491

-5.96

35.52


11

491

-5.96

35.52

12

492

-4.96

24.60

13

493

-3.96

15.68

14

494

-2.96

8.76

15

497

-0.04

0.0016

16

499

2.04

4.16

17

502

5.04

25.40

18

502

5.04

25.40

19

504

7.04

49.56

20

505

8.04

64.64

21

506

9.04

81.72

22

510


13.04

170.04

23

514

17.04

290.36

24

519

22.04

485.76

25

522

25.04

627












- Находим СКО однократных измерений:

=
- Находим СКО случайной погрешности:



- Интервальная оценка погрешности:

Интервальные оценки погрешности, определяющие границы интервала, внутри которого находятся значения случайной погрешности. При симметричных законах распределения, которые чаще всего имеют место, эти границы располагаются симметрично относительно нулевого значения случайной погрешности. В таких случаях интервал погрешности определяется одним граничным значением . Таким образом, после вычисления оценки СКО определение интервальной оценки фактически сводится к установлению коэффициента пропорциональности между оценкой СКО и интервальной оценкой . Однако значение зависит, прежде всего, от закона распределения погрешности. Поэтому выбору коэффициента должно предшествовать заключение (или хотя бы обоснованное предположение) об имеющем место законе распределения. Мы предположили, что ряд наблюдений подчиняется у нас нормальному закону распределения.


Таблица 4


Вид распределения

Доверительные значения





Нормальный

0,9

1,64

0,95

2

0,99

2,6

0,997

3

Равномерный

1

1,73

Треугольный

1

2,45


Из таблицы находим = 2, при

- доверительный интервал.

- запишем результат измерения физической величины.
, для = 25

Построение статистического ряда
- находим размер выборки:



- находим количество разрядов:



длину интервала делаем одинаковой ≈8
- разбиваем наш ряд на 8 интервалов: 461-468,625; 468,625-476,25; 476,25-483,875;483,875-491,5;

491,5-499,125; 499,125-506,75; 506,75-514,375; 514,375-522.

- вычисляем частоту попаданий элементов, т.е. частоту разряда статистического ряда.

Таблица 5


интервалы

Число вариантов

частоты

461-468,625

2

0,08

468,625-476,25

1

0,04

476,25-483,875

2

0,08

483,875-491,5

6

0,24

491,5-499,125

5

0,2

499,125-506,75

5

0,2

506,75-514,375

2


0,08

514,375-522

3

0,12



- Строим гистограмму:



Оценка плотности распределения, построенная по частотам
- Проверка гипотезы:
Для проверки гипотезы будем использовать составной критерий, так как число результатов наблюдений меньше 50.
Критерий 1:
Для ряда наблюдений xi вычисляем отношения:




dq1/2 , d(1-q1/2) находим из таблицы:



n

q1/2*100%

(1-q1/2)*100%

1%

5%

95%

99%

25

0.8901

0.8686

0.7360

0.7040

Производя линейную аппроксимацию и учитывая доверительную вероятность = 95%получим значение dq1/2 и d(1-q1/2) для n = 25

dq1/2 = 0,8686

d(1-q1/2) = 0,7360
Распределение можно считать нормальным если выполняется следующее:

; в нашем случае: 0,7360 < 0,7866 < 0,8686

Вывод: По критерию 1 распределение нормальное.
Критерий 2:
Распределение нормальное, если не более mдоп число разностей вида превзошли значение

; где Zp/2 – верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа.

n

mдоп.

p

24-27

2

0.95


Zp/2 в этом случае, опять же из таблицы:


Р



0,9

1,65

0,95

1,96

0,96

2,06



для Р=0,95, равен 1,96

=



Не сложно заметить, что только два из значений превосходят число 29,38

это значит, что и по второму критерию распределение является нормальным.
Замечательной особенностью составного критерия является то, что только при удовлетворительном результате обоих из вложенных в него критериев мы можем сделать вывод о том, что РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НОРМАЛЬНЫМ.

Задача № 2
Определите СКП измерения частоты 150 МГц цифровым методом, если СКП нестабильности частоты равна , а время счёта 0,01с.
Цифровой метод еще называют методом дискретного счета. Определение частоты в таких приборах основано на измерении длительности импульса. Число счетных импульсов попавших в данный временной интервал пропорционально частоте (рис. 1)

, (1)

г
Рис. 1
де — частота счетных импульсов. Если при высокой частоте настроить частоту счетных импульсов так, чтобы , тогда длительность импульса . Выражение (1) примет вид


В данном выражении имеет смысл чувствительности.

Значение относительной погрешности измерений частоты нормируется как сумма двух составляющих:


, где - погрешность из-за ухода частоты генератора;

- погрешность дискретности.

, где - измеряемая частота,

- время счёта.

, ,

Находим погрешность дискретности:

, тогда
СКП измерения частоты , или




Задача № 3

К миллиамперметру класса точности 1,5 с сопротивлением 150 Ом, для расширения предела измерения подключен образцовый шунт Ом.

Определите рабочий диапазон и класс точности полученного амперметра.

Для измерения постоянного тока используют МЭ приборы. Максимальный ток измерения МЭ приборов . Когда нужно измерить ток больше, чем 0,5А, используют шунт. К шунту предъявляются следующие требования:

  • он не должен сильно нагреваться под действием тока, так как через него протекает большой ток;


  • сопротивление шунта не должно изменяться при изменении его сопротивления.

Н
Рис. 2
а рис. 1 показан пример применения шунтирующего сопротивления.

Величину шунта можно рассчитать из соотношения:

(1)

где - коэффициент шунтирования, называемый также множителем шкалы.

Нетрудно доказать, что сопротивление шунта должно быть равно:

, где - коэффициент шунтирования, называемый также множителем шкалы.

Очевидно, что коэффициент шунтирования больше 1.



, где - новый предел измерения амперметра , включенного параллельно с шунтом
решение:



рабочий диапазон полученного амперметра равен 0-6250,5А
Определим класс точности полученного амперметра.

, или , т.е. абсолютная погрешность измерения силы тока миллиамперметром -


Необходимо найти абсолютную погрешность, вносимую шунтом.

Нам известно, что

Найдём относительную погрешность косвенным методом:
Воспользовавшись формулой (1), получим: ;

; но из условия задачи следует, что относительная погрешность миллиамперметра будет равна 0,015, тогда



Находим абсолютную погрешность, вносимую шунтом:

А

Находим абсолютную погрешность полученного амперметра:


Зная абсолютную погрешность амперметра, определим класс точности полученного амперметра:
класс точности полученного амперметра будет равен 4.

Список литературы


1.         Основы метрологии и электрические измерения / Под ред. Е.М. Душина. – Л.: Энергоатомиздат, 1987. – 480 с.

2.         Карпов Р.Г., Карпов Н.Р. Электрорадиоизмерения. – М.: Высшая школа, 1978. – 279 с.

3.         Измерения в электронике: Справочник / В.А. Кузнецов, В.А. Долгов, В.М. Коневских и др.; Под ред. В.А. Кузнецова. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 512 с.