prosdo.ru
добавить свой файл
1

Авдеева Мария Олеговна (МИФ-2, №3, 2005)

Область допустимых значений уравнений и неравенств


1. Введение

При подготовке к единому государственному экзамену по математике, безусловно, необходимо повторить и систематизировать весь материал школьного курса. Особое внимание следует обратить на темы, являющиеся основой для решения широкого круга задач из различных разделов. Решение уравнений и неравенств именно такие темы. При решении текстовых задач, задач математического анализа, систем уравнений, неравенств и т.д. необходимо понимание и твердое владение основными методами решения уравнений.

Заметим, что (см. [1]) «наиболее распространенный (стандартный) путь решения уравнений состоит в том, что с помощью стандартных приемов решение данного уравнения сводится к решению нескольких элементарных уравнений с последующим анализом найденных корней». В большинстве случаев анализ подменяется непосредственной проверкой. Однако такой подход при решении неравенств уже является несостоятельным. По нашему мнению, более грамотно выполнять только равносильные преобразования исходных равенств и неравенств, то есть при каждом преобразовании следить за их областью допустимых значений (ОДЗ) учитывая области определения и значений используемых функций.

Заметим, что простое выписывание ОДЗ и решение полученных при этом неравенств не всегда целесообразно. Оно часто приводит к лишней работе по нахождению корней квадратных трехчленов и сравнению этих корней с корнями, которые получаются при решении исходных уравнений и неравенств. Поэтому достаточно ПОСТОЯННО СЛЕДИТЬ ЗА РАВНОСИЛЬНОСТЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ и проводить анализ окончательных результатов в соответствии с условиями ОДЗ.

2.^ Области определения и значений основных элементарных функци

Напомним свойства основных элементарных функций, обращая внимание на их применение для решения уравнений и неравенств.

a) ^ Дробная рациональная функция определена во всех точках, кроме нулей знаменателя. Следовательно, из области допустимых значений решения соответствующего уравнения и неравенства нужно исключить значения , для которых .

b) ^ Логарифмическая функция определяется основным логарифмическим тождеством

.

Именно при решении задач с логарифмами следует обратить внимание на сделанное ранее замечание о проведении равносильных преобразований без явного выписывания ОДЗ.

c) ^ Показательная функция имеет смысл только при и принимает только положительные значения. Для функция тождественно равна единице.

d) ^ Степенная функция , где - постоянное число не имеет общих свойств для всей своей области определения. При она определена и положительна для любого действительного . При степенная функция определена и равна нулю если , и не определена, если . Степенная функция равна единице при (заметим, что символ не определен, поэтому считать, что при всех не правильно).

Кроме того, степенная функция обладает различными свойствами, зависящими от показателя степени . Так, степенная функция с натуральным показателем определена при всех значениях , а степенная функция с целым отрицательным показателем определена при . Для нечетных функция определена во всех действительных точках (нуле, положительных, отрицательных) и принимает отрицательные значения при .

Если в уравнении или неравенстве встречается показательно-степенная функция , то в условия, определяющие ОДЗ, необходимо включить . При этом, случай требует отдельной проверки, поскольку для выражение определено и равно нулю.

e) ^ Вопросы для самопроверки.

1) Укажите, в каких точках не определена функция .

2) Укажите область определения и область значений следующих функций:


; ; ; ; ; .

3. Примеры решения уравнений и неравенств

Рассмотрим некоторые простые примеры решения уравнений и соответствующих неравенств с использованием равносильных преобразований и анализом их ОДЗ.

а) Решая уравнение с ОДЗ , равносильным преобразованием , приведем его к виду . Очевидно, что есть корень первоначального уравнения, удовлетворяющий ОДЗ.

Для решения неравенства , выполним аналогичные операции и получим рациональное выражение равносильное системе , где вторая строка отражает ОДЗ исходного неравенства. Применяя метод интервалов к решению , получаем . Окончательный ответ записываем, с учетом ОДЗ (см. рис.1), в виде .

b) Уравнение равносильно системе

.

Очевидно, корень является посторонним, так как не входит в ОДЗ (определяется неравенствами системы). Корень удовлетворяет ОДЗ и является корнем исходного уравнения. Неравенство равносильно системам

.

И
нтервал - решение неравенства (рис.2).

с) При решении уравнения делаем замену и переходим к равносильной системе , где неравенство соответствует области значений показательной функции и является ОДЗ исходного уравнения (в неявном виде без непосредственного выражения для ). Из двух корней и квадратного уравнения , учитывая ОДЗ, выбираем положительный и находим окончательный ответ .

Решая неравенство , получаем равносильные системы (рис.3)

.

Поскольку основание степени больше единицы и неравенство верно при всех действительных , то окончательный ответ имеет вид .

d
) Формально ОДЗ уравнения с показательно-степенной функцией определяется неравенством Однако, является корнем данного уравнения поскольку при этом и величина определенная. Записав исходное уравнение в виде , для получаем и . Корни последнего и . Второй корень не входит в ОДЗ, но при исходное уравнение имеет смысл и входящие в него функции (степенные функции с целым отрицательным показателем) определены для всех . Таким образом, уравнение имеет три корня , и .

Неравенство с ОДЗ равносильно системам

.

Вторая система совокупности не имеет решений, поэтому окончательный ответ записывается в виде .

e) Вопросы для самопроверки

1) Решите методом интервалов неравенство .

2) Составьте систему равносильную уравнению .

3) Найдите корни уравнения , для которых .

4. Примеры решения задач из ЕГЭ

Рассмотрим некоторые примеры задач единого государственного экзамена 2005 года.

a) (Часть 2, В5) ^ Найдите сумму всех корней уравнения .

Решение: ОДЗ данного уравнения определяется подкоренным выражением. Из двух корней уравнения только принадлежит ОДЗ исходного уравнения. Следовательно, сумма всех корней определяется выражением . Ответ:.

в) (Часть 2, С1) Найдите все значения , для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции .

Решение: Необходимые значения удовлетворяют неравенству . Его ОДЗ соответствует областям определения логарифмической функции () и дробной рациональной функции (). Преобразуем неравенство к виду с числителем, положительным на всей ОДЗ. Знак дроби, расположенной в левой части неравенства, определяется ее знаменателем. Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с решением на области допустимых значений. Ответ: .

с) (Часть 2, С2) Решите уравнение .

Решение: Область определения степенной функции с четным определяет ОДЗ уравнения неравенством . Левая часть уравнения неотрицательна (сумма двух квадратных корней), поэтому в ОДЗ включаем . Следовательно, решения исходного уравнения должны удовлетворять . Так как при этом , то найдем решения соответствующие ОДЗ. Ответ: .


Задачи для самостоятельного решения

  1. Решите уравнение . Ответ: .

  2. Решите уравнение . Ответ:.

  3. Решите неравенство . Ответ:.

  4. Решите неравенство . Ответ:.

  5. Найдите все значения , при которых ординаты точек графика функции неотрицательны. Ответ: .


Список литературы

  1. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. // М.: Просвещение. 1989.

  2. Разгулин, А.В. Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. Алгебра. // А.В. Разгулин, М.В. Федотов.- МГУ им. М.В. Ломоносова. Факультет ВМиК. Москва. 2000.

  3. Математическая энциклопедия. Т. 4, 5. / Гл. ред. – И.М. Виноградов, - М., Советская энциклопедия, 1984.

  4. Кравцев, С.В. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. // С.В. Кравцев, Ю.Л. Макаров, М.И. Максимов и др. - М.: Экзамен. 2001.