prosdo.ru 1

Задания олимпиад


1.
На свой день рождения Фрекен Бок испекла торт. Известно, Малыш и торт весили столько же, сколько Фрекен Бок и Карлсон. После того, как торт съели, Карлсон весил столько же, сколько Фрекен Бок и Малыш. Докажите, что кусок торта, который съел Карлсон, весил столько же, сколько весила Фрекен Бок до дня рождения.

2. Докажите, что сумма членов ряда парных произведений натуральных дробей удовлетворяет следующему неравенству

3. Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах xy=x+y+3.

4. Две деревни A и B находятся по разные стороны от широкой реки, берега которой параллельные прямые. В каком месте необходимо построить мост, перпендикулярный реке, чтобы длина пути из A в B была минимальной?

5. Дан выпуклый четырехугольник. Как с помощью только одного прямолинейного разреза разделить его на две равновеликие части?