prosdo.ru
добавить свой файл
1

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

учебных занятий по обязательной дисциплине «Алгебра и геометрия», привязанной к семестрам. Лектор – доцент, к.ф.м.н. Попов А.М.

1-й семестр

Виды и содержание учебных занятий

Неделя

Лекции

Число

часов


Практические занятия

Число

часов


1

Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания. Бином Ньютона. Поле комплексных чисел. Поле.

4

Комбинаторика. Комплексные числа

4

2

Отношения. Функция. Отображения. Образ и прообраз подмножества. Обратное отображение.

Инъекции, сюръекции, биекции, их свойства. Подстановки, транспозиции, операции над подстановками, их свойства. Циклы. Четность. Отношение эквивалентности.

4

Подстановки, транспозиции, операции над подстановками, их свойства. Циклы. Четность.

4

3

Системы линейных уравнений (СЛУ). Эквивалентные системы. Элементарные преобразования СЛУ, их свойства. Приведение СЛУ к ступенчатому виду методом Гаусса. Исследование и решение СЛУ ступенчатого вида. Метод Жордана.

4

Решение СЛУ методом Гаусса и Жордана


4

4

Определители. Полилинейность и кососимметричность определителя по строкам. Обратная теорема. Разложение определителя по столбцам. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.

4

Вычисление определителей. Определитель Ван-дер-Монда

4

5

Определитель транспонированной матрицы и матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строкам. Теорема о полном разложении определителя. Правило Крамера для решения СЛУ. Теорема Лапласа.

4

Вычисление опре­делителей. Задачи на теорему Лапласа. Правило Крамера.

2

Контрольная работа № 1

2

6

Алгебраические операции, универсальные алгебры. Полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля. Примеры, свойства. Кольцо вычетов по модулю m.

Поля. Поле вычетов по простому модулю. Простые поля. Характеристика поля. Теорема о простом подполе.

4

Кольцо и поле вы­четов.

Задачи №№ 1709-1719,1726, 1727, 1732-1735 (Номера по «Сборнику задач по линейной алгебре» И.В.Проскурякова)

4

7

Линейное пространство, определение, основные свойства, примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства. Система образующих. Базис линейного пространства. Теоремы о базисах. Теорема о дополнении линейно независимой системы до базиса линейного пространства. Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме. Пространство строк длины n. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.


4

Задачи №№ 1285-1293, 1297-1304, 1308, 1309

4

8

Ранг системы векторов. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение однородной СЛУ. ФСР. Определение ранга матрицы через миноры. Свойства ранга. Теорема о ранге матрицы (эквивалентное определение). Уравнение - следствие системы. Применение понятия ранга к решению СЛУ.

4

Задачи №№ 1310, 1312, 1314-1325, 1328, 1329, 643*,646-650, 652-655, 661, 663, 665

4

9

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Общее решение неоднородной СЛУ.

2

Решение ОСЛУ методом ФСР. Решение НСЛУ.

4

Коллоквиум № 1

2

10

Определение и свойства умножения прямоугольных матриц. Умножение квадратных матриц.

|AB| = |A||B|. Обратная матрица (левая и правая). Матричный вид СЛУ.

4

Задачи №№ 798, 802*, 803*, 804*, 805, 806, 811-817

4

11

Решение матричных уравнений. Ранг произведения матриц. (АВ)Т.

4

Задачи №№ 818- 822, 827, 829, 836, 839, 846, 864, 865, 872, 873

4

12


Линейные операции над векторами в трехмерном пространстве. Репер. Скалярное, векторное и смешанное произведение.

Уравнения прямой на плоскости и в пространстве, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, канонические уравнения.

4

Контрольная работа № 2

2

Векторная алгебра, прямая на плоскости и в пространстве

2

13

Уравнения плоскости, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, общее уравнение.

Расстояние от точки до прямой и до плоскости, расстояние между прямыми, углы между прямыми и плоскостями, взаимное расположение прямых и плоскостей, пересечения прямых и плоскостей.

4

Плоскость, взаимное расположение прямых и плоскостей

4

14

Кривые 2-го порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду. Свойства эллипса, гиперболы, параболы. Необходимость и достаточность. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, центр, асимптоты.

4

Кривые 2-го порядка.


4

15

Поверхности 2-го порядка. Свойства эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, конусов, цилиндров.

Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

4

Поверхности 2-го порядка

2


Контрольная работа № З

2

16

НОД и НОК многочленов и натуральных чисел, свойства. Алгоритм Евклида. Однозначность разложения на простые множители в k[x] и в N. Производная, кратные корни.

4

1726, 1727, 1759, 1763-1770.


4

17

Основная теорема алгебры (без доказательства). Алгебраически замкнутые поля, формулы Виета. Разложение многочлена на неприводимые над полями действительных и комплексных чисел.

4

Производная, кратные корни.

2

Контрольная работа № 4

2

18

Поле частных. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

4

Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

4

19,20

Итоговый контроль знаний – экзамен

2-й семестр


Виды и содержание учебных занятий

Неделя


Лекции

Число

часов

Практические занятия

Число

часов

1

Линейный оператор и его матрица. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц. Матрица перехода к новому базису.

2

Линейные отображения (л.о.), их матрицы

Задачи №№ 1441-44, 40,47,45,46,49 (Номера по «Сборнику задач по линейной алгебре» И.В.Проскурякова)

2

2

Изменение координат вектора и матрицы линейного отображения при изменении базисов. Эквивалентные матрицы. Операции с подпространствами. Прямая сумма подпространств. dim(L+L)+dim(L∩L)

2

f  f(c) –л.о.

Подпространства. Задачи №№ 1316 15,17,18,19**

2

3

Теоремы о прямых суммах. (Задание подпространства однородной СЛУ). dimIm+dimKer, следствия, rg и def.

2

Задачи №№ 1450,51,52,59,60, 1325,27,28,29

2

4

Невырожденные л.о. – 10 эквивалентных условий. |  |. Инвариантные подпространства. Собств. векторы и значения, характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

2

Задачи №№ 1465, 66, 67,63,55, 56,75,76,77,87,89,90 91,93,95-99,1500-02


2

5.

Диагонализируемые операторы. Существование инвариантного подпространства размерности ≤1 для поля С и размерности ≤2 для поля R.

2

Прямая сумма операторов, дуальное пространство, комплексификация и овеществление.

2

6

Евклидовы и унитарные векторные пространства. Общие свойства. Матрица Грама.

2

Задачи №№ 1366-70, 65

2

7

Ортонормированный базис. Изометрии. Ортогональные преобразования и их свойства.

2

Задачи №№ 1357,59, 61,62

2

8

Линейные функционалы на евклидовых и унитарных пространствах. Сопряженные линейные операторы.

2

Ортогональные матрицы.

Задачи №№ 1371,72

2

8

Коллоквиум № 2

2

Контрольная работа № 5


2

9

Структура ортогонального и самосопряженного оператора.

2

Сопряженные операторы, изоморфизм Е и Е*. Задача № 1540


2

10

Структура унитарного и эрмитова оператора. Нормальные операторы.

2

Задачи №№ 1541,42,54, 1563,91

2

11

Понятие о нормальной форме Жордана матрицы линейного оператора.


2

Задачи №№ 1180,82,75,78

2

12

Билинейная и квадратичная формы. Матрица формы в новом базисе. Эквивалентные формы. Ортогонализация базиса.

2

Задачи №№ 1190,91,93,1248

2

13

Нормальный и канонический вид квадратичных и билинейных форм.

2

Задачи №№ 1212,13, 08,1210а, 1204,05,

2

14

Закон инерции. Классификация форм по знаку.

2

Задачи №№ 1206,03,07,09

2

15

Критерий Сильвестра.

2

Задачи №№ 1224,26,3436,37

2

16

Билинейные формы в евклидовом пространстве.

2


Контрольная работа № 6

2

17

Приведение пары форм.

2

Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний

2

18

Обзорная лекция

2

Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний

2

19,20

Итоговый контроль знаний – экзамен
Зав. кафедрой дифф. уравнений и матем. физики, проф. А.Л. Скубачевский