prosdo.ru
добавить свой файл
1 2 ... 5 6

Логика – как наука. История развития логики.

Формы человеческого мышления


Слово логика означает как совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления, так и науку о правилах рассуждений. (Логика – это наука правильно рассуждать, наука о законах и формах человеческого мышления). Логика, как наука о законах и формах мышления изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира.

Если теория алгоритмов – в некотором смысле мать современных ЭВМ и программирования, то логика – их отец.

Умение рассуждать, логически мыслить, давать ответы на поставленные вопросы играет очень важную роль в жизни человека. Выделение логических задач носит до некоторой степени условный характер. Трудно определить, какую задачу следует назвать логической. Кажется, любая задача является таковой, так как для её решения требуются определенные логические рассуждения. И это верно, но все же по традиции для тренировки именно логического мышления человеком придумано множество задач, в которых речь идет об объектах, вообще говоря, произвольной природы. Именно такими задачами и правилами их решения мы и займемся.

Но какое отношение логика имеет к вычислительной технике и программированию? Оказывается, самое непосредственное. Именно логика является теоретической основой современных ЭВМ и сложных управляющих систем. Она приобретает важное прикладное значение – особенно в области разработки специальных языков для баз данных и представления знаний. Используя методы и средства логической науки, ученые разрабатывают эффективные языки программирования.

Например, основой так называемого доказательного программирования является формальная логика. Общая идея здесь, как говорится, лежит на поверхности: если можно конструктивно, используя интуицию, доказать, что существуют объекты, удовлетворяющие некоторому данному условию, то, построив доказательство, можно построить по нему и программу вычисления соответствующего условия (функции).


Опять же, в основе так называемого логического программирования лежат структуры логических доказательств.

Но особое значение логическая наука стала приобретать в вопросах, касающихся проблемы искусственного интеллекта. Именно здесь разработчикам пришлось создать новую область логических исследований – логический анализ.

Аристотель (384 – 322 гг. до н.э.) по праву считается основоположником логики. Он подверг анализу человеческое мышление и его формы: понятие, суждение, умозаключение. В своих определениях Аристотель представляет логику как науку о выводе одних умозаключений из других сообразно их логической форме, поэтому логику Аристотеля называют формальной. ( Он рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны). (Формальная логика – наука о законах и формах мышления).

В течение многих веков логика помогала математике стать строгой, последовательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказалась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие математики, и особенно логики, замедлилось, потому что новые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: первое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Первые идеи использования общепринятых математических методов в логике появились в XVII в., в трудах французского философа и математика Рене Декарда (1596-1650), немецкого философа и математика Вильгельма Лейбница(1646 – 1716). Лейбниц впервые высказал мысль о возможности применения двоичной системы счисления в вычислительной математике. Он считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел соответствующие правила.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить дальнейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах другого великого математика Джорджа Буля, отца писательницы Э. Войнович – автора романа «Овод». Он вывел для логических построений


Особую алгебру (алгебру логики). В отличие от обычной, в ней символами обозначают не числа, а высказывания. Алгебру логики по другому называют булевой алгеброй.

Большой вклад в развитие математической логики также внесли Аугустус де Морган (1806-1871), Уильям Стенли Джевонс(1835-1882), Платон Сергеевич Порецкий(1846-1907), Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914) и др.

Сегодня математическая логика нашла приложение в вопросах конструирования и применения вычислительной техники. В ЭВМ информация подвергается не только математической, но и логической обработке. Основу работы логических схем и устройств ЭВМ составляет специальный математический аппарат – раздел математической логики, называемой алгеброй логики.

Прежде чем перейти к изучению данной темы необходимо повторить следующие темы: информация, виды информации, способы получения информации и т.д.

Одной из форм получения информации является речь. Информацию человек может получить через вопросы и ответы. Каждый вопрос выражает потребность в знании определенных сведений об окружающем нас мире. Эти знания мы высказываем в форме суждений.

Основные формы абстрактного мышления:


  • ПОНЯТИЯ,

  • СУЖДЕНИЯ,

  • УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов.

Примеры понятий: Портфель, трапеция, ураганный ветер.

В понятиях «схватываются» сущность предметов, их внутреннее содержание.

Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. (Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить, истинно оно или ложно).

Суждение выражается в виде повествовательного предложения.

Суждение может быть простым или сложным.


Суждение считается простым, если некая его часть не является суждением.

Сложные суждения характеризуются тем, что образованы из нескольких суждений с помощью определенных способов соединения суждений.

Например: «Париж – столица Албании» - простое суждение

А суждение: «Неверно, что Париж – столица Албании» - сложное, потому что его часть является тоже суждением.

Море соленое. Снег бело-голубой. Земля плоская. В речке вода солёная. Океан пресноводный. 5*5=25.

Если наступят каникулы, то я поеду или к бабушке или в дом отдыха.

Сложные суждения чаще всего образуются как составные. Они получаются из простых или элементарных суждений с использованием связок «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ…, ТО», «НЕ».

Суждения могут быть истинными или ложными. Непосредственно наблюдаемые факты мы обычно принимаем за истинные, а стремление выдать желаемое за действительное либо из-за ошибки в рассуждениях или предположениях – за ложные.

Суждения бывают частные и общие. Частные суждения выражают конкретные (частные) факты. Например: «7-2>3», «Луна – спутник Земли».

Общие суждения характеризуют свойства объектов или явлений.

Примеры общих суждений: Все фрукты полезны. У кошки четыре ноги, а сзади её хвост.

«В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 900», «Всякий человек -млекопитающее». Общее суждение называется тождественно (абсолютно) истинным, если оно справедливо для любого объекта, о котором говорится в суждении. Второе суждение верно для всех кошачьих. Суждение «Зимой идет снег» не тождественно истинно, так как, например. 20 января 2003 года снег не шел.

Если из двух суждений выводится третье, то этот процесс называется умозаключеним.

Умозаключение – прем мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание.


Возьмём первое суждение:

« Академик Ершов русифицировал язык Паскаль»

Второе суждение:

«Язык Паскаль – структурный язык».

Тогда вывод из этих суждений:

«Академик Ершов русифицировал структурный язык» - будет умозаключением.

Цепочка взаимосвязных суждений, фактов, общих положений и умозаключений, получаемых из других суждений по определенным правилам есть рассуждения.


Главная задача логики состоит в том, чтобы выявит, какие способы рассуждения правильные, а какие нет.


Вопросы:


  1. Что такое логика? Какими формами человеческого мышления она занимается?

  2. Приведите краткую историю развития математической логики.

  3. Какова главная задача логики?

  4. Какую роль играют знания логики в вычислительной технике и программировании? Где она имеет прямое приложение?



Высказывания в логике. Простые и сложные высказывания.

Логические операции. Таблицы истинности.


В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы математической логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

В математической логике суждения называют высказываниями. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний.


ВЫСКАЗЫВАНИЕ – это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.


Например:


Земля – планета Солнечной системы - истинно

2+8<5 - ложно

5*5=25 - истинно

А вот примеры, не являющиеся высказываниями:



Уходя, гасите свет;

Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое.


Высказывания, приведенные выше, являются простыми. Сложные высказывания получаются путем объединения простых высказываний связками – союзами И, ИЛИ, и частицей НЕ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих высказываний и от объединения их связок.


Например, даны четыре простых высказывания:


На улице идет дождь;

На улице светит солнце;

На улице пасмурная погода;

На улице идет снег.


Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации будет ложно, а другое – всегда истинно, обязательно используя все предложенные простые высказывания.

Ответ: в одном случае объединим все высказывания союзом ИЛИ и получим истинное высказывание, в другом используя союз И, получим высказывание всегда ложное.

Эта задача может играть роль своеобразного теста – правильно ли понят материал, можно ли переходить к более сложным задачам.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно – 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А,В,С.


Например:


У кошки четыре ноги. А=1

Москва столица Франции В=0

Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.


Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некий функциональный преобразователь.

Х

У F(X,Y,Z)


Z


Причем числа на входе (Х,У,Z) – значения входных логических переменных, а число на выходе – значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

Значение логической функции для разных сочетаний входных переменных или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле.

Q=2n

где n – количество входных переменных.

В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Связки, И, ИЛИ и Не заменяются логическими операциями: коньюнкцией, дизьюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию. Также имеются дополнительные логические операции импликация и эквивалентность.


Логическая операция КОНЬЮНКЦИЯ иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ.


  • соответствует союзу И,

  • в программировании AND

  • обозначается знаком ^

  • обозначение логического элемента соответствующего логической операции И, соответствует знак &?


Коньюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных коньюнкцией.


A^B^C = 1, только если А=1, В=1, С=1..


Таблица истинности коньюнкции имеет следующий вид:




А В А^В



0 0 0

0 1 0

1 1 1

1 0 0


Из таблицы истинности следует, что операция коньюнкции (логическая операция «И») – это логическое умножение, которое ничем не отличается от традиционного умножения в обычной алгебре.


Например:


Пусть есть суждения А= «Сегодня хорошая погода»

В= «Коля пошел кататься на лыжах»


Тогда коньюнкция А^В есть суждение:


Х = «Сегодня хорошая погода и Коля пошел кататься на лыжах»


Если хотя бы одно из этих суждений ложно, то естественно построенное выше суждение Х ложно.


Логическая операция ДИЗЬЮНКЦИЯ – иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ


  • соответствует союзу ИЛИ,

  • в логических элементах обозначается 1

  • в программировании соответствует OR

  • обозначается знаком \/

Дизьюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизьюнкцией.


A\/B\/C = 0, только если А=0, В=0, С=0

Таблица истинности дизьюнкции имеет следующий вид:



А В А\/B



0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


Из таблицы истинности следует, что операция, дизьюнкции (операция «ИЛИ») – логическое сложение – немного но отличается от обычного алгебраического сложения. А именно: отличается лишь последней строкой: 1+1=1. Результат этот также не совпадает со сложением двоичных чисел ( 1+1=10). Это следствие того, что 1 является не числом «один», а только символом смысл которого был пояснен выше. Если имеются две истинные величины, то результатом их сложения будет истинная величина, но не может быть ни дважды истинно, ни полуистинно! Именно поэтому 1+1=0.

Например: пусть даны два суждения:

А= «Снег пойдет ночью»

В= «Снег пойдет утром»


Тогда суждение Х=А+В= «Снег пойдет ночью или утром»

В этом примере связка «ИЛИ» играет объединяющую роль.


Приведем другой пример. Даны суждения:

А= «Он придет сегодня»

В= «Он придет завтра»


Суждение Х=А+В = «Он придет сегодня или завтра»


В этом случае связка «ИЛИ» играет только разъединительную роль (её можно заменить разделяющим либо).


Составное суждение со связкой «ИЛИ» считается истинным, если истинно хотя бы одно из составных суждений, и считается ложным, если ложны все его составляющие.

Логическая операция ИНВЕРСИЯОТРИЦАНИЕ операция «НЕ»


  • в программировании «NOT»

  • обозначается неА или употребляется символ «-« над А

Имея суждение А, можно образовать новое суждение, которое читается как «неА» или неверно, что А.

Таблица истинности выглядит следующим образом:

А А





  1. 0

0 1


так как возможны только два значения переменной, то всегда




1 = 0 и 0 = 1


Пусть суждение А= «Мы любим информатику»



А = «Мы не любим информатику»





Отрицание А имеет значение «истинно», если исходное суждение ложно. И


наоборот, А имеет значение «ложно», если исходное суждение А истинно.


Логическая операция ИПЛИКАЦИЯ (от латинского implication – тесно связывать) – Логическое следование


Обозначается так: А В,

А – условие. В – следствие.

Если А, то В:


Таблица истинности

А

В

А В

0

0

1

0

1

1

1


0

0

1

1

1


Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда из истинного высказывания (А) следует ложное следствие (В)


Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (от лат. Aequivalens – равноценное) – Логическое равенство.


Обозначается так: А В


Таблица истинности


А

В

А В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1


Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

В алгебре высказываний любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции, записать её в виде логического выражения и упростить, применяя законы логики и свойства логических операций. По формуле логической функции легко рассчитать её таблицу истинности. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок.


Приоритет логических операций:

СКОБКИ,

ИНВЕРСИЯ,

КОНЬЮНКЦИЯ,

ДИЗЬЮНКЦИЯ.

ИМПЛИКАЦИЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Вопросы:


1. Какие бывают высказывания? Привести примеры различных высказываний.

2. Дать понятие логическим переменным и логическим функциям. Придумать примеры.

3. Выучить таблицы истинности и привести примеры.

Использование логики высказывания в технике.

Логические схемы на контактных элементах.


Логический элемент – это схема, реализующая логические операции И, ИЛИ, НЕ.

Рассмотрим реализацию логических элементов через электрические контактные схемы, знакомые из школьного курса физики. Контакты на схемах будем обозначать латинскими буквами.


1. Последовательное соединение контактов а в

а

2. Параллельное соединение контактов в

Составим таблицу зависимости состояния цепей от всевозможных комбинаций состояния контактов. Введем обозначения: 1-контакт замкнут, ток в цепи есть; 0-контакт разомкнут, тока в цепи нет.



А

В

Состояние цепи с последовательным соединением

Состояние цепи с параллельным соединением

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1


Как видно, цепь с последовательным соединением соответствует логической операции И, т.к. ток в цепи появляется только при одновременном замыкании контактов А и В. цепь с параллельным соединением соответствует логической операции ИЛИ, т.к. ток в цепи появляется как при замыкании одного из контактов А или В, так и при одновременном их замыкании.

Логическая операция НЕ реализуется через контактную схему электромагнитного реле, принцип работы которого изучается в школьном курсе физики. Контакт неХ называется инверсией контакта Х; когда Х замкнут, неХ разомкнут, и наоборот.

Таблица истинности состояния инверсных контактов


Х

неХ


0

1

1


0


Любую электрическую схему можно разбить на цепочки из последовательно и параллельно соединенных контактов, которые мы назовем элементарными.


Упражнение 1. Разбейте на элементарные цепочки схемы на рис. 1 и рис. 1.

Решение. В схеме рис. 1 можно выделить цепи с последовательно соединенными контактами C,D,F и две параллельно соединенные цепи (1-цепь с контактами C,D,F; 2 –цепь с контактом А).


c d f b d

a

a c f


Рис. 1 Рис. 2


В схеме рис. 2 два параллельных соединения

B d



C И F


Которые объединяются последовательно с контактом А в одну схему.

Задачи


3.1. Определите вид и число элементарных цепочек в электрических цепях.

А) Х У б) В a d


неХ c e


в) с d f г) a

a b b


c

b d

д) c x

a неХ




следующая страница >>