prosdo.ru
добавить свой файл
1

Метод оценки структурных параметров стеблевого слоя льняной тресты


УДК 677.023.23.001.18(043.3)

СПЛАЙНОВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

МАШИННОГО АГРЕГАТА

В.В. Романов, В.А. Лясич, И.В. Смирнов


Приведены результаты использования сплайновой интерполяции методом Акимы в задачах моделирования приведенных моментов инерции, приведенных моментов сил сопротивления, натяжения нитей при динамическом анализе ткацких станков.

Динамический анализ, сплайновая интерполяция.


Исходными данными для динамического анализа любого машинного агрегата, например ткацкого станка, являются законы изменения приведенных моментов инерции звеньев и приведенных моментов сил сопротивления. Программоносителями, определяющими законы движения механизмов станка, в станках СТБ являются кулачки. Если закон изменения положения механизма теоретически задан, то определение динамических параметров движения существенно облегчается. В литературе применительно к станку СТБ2-180 с угловым перемещением батана вперед φ0I и назад φ0II, равным φ0I = φ0II = 70, законы движения центра ролика двуплечего рычага батана (с опечатками) приводятся в работе [1]. После их исправления авторами настоящей статьи, дифференцирования по углу поворота кулачка получены выражения для аналогов линейных скоростей по участкам в период подхода к опушке ткани:

I участок: поворот главного вала  в пределах 0  :


II участок: поворот главного вала  в пределах :


;

III участок: поворот главного вала  в пределах :



IV участок: поворот главного вала  в пределах :

.

Здесь текущий угол поворота кулачков, град.;

;

S – перемещение центра ролика двуплечего рычага, мм (Smax = 8);

0 – полный угол перемещения батана;

 – текущий угол поворота кулачков, град.

При 0 = 70 = 36,665.

Для сравнения расчетных величин аналогов угловых скоростей по формулам [1] и их фактических значений воспользуемся чертежами кулачков завода-изготовителя «Текстильмаш» (г. Чебоксары).

Согласно теории кинематического анализа кулачковых механизмов [1] рассчитывается угловое перемещение коромысла i, а аналог угловой скорости качания подбатанного вала определяется по формуле

. (1)

Графики аналогов скоростей, построенные по методике [1] и по формуле (1), представлены на рис. 1. Сравнение показывает, что графики аналогов скоростей не совпадают. Еще большее несовпадение фактических и расчетных значений наблюдается при определении ускорений.


Если теоретический закон изменения той или иной величины не известен, то используется математический аппарат аппроксимации, обеспечивающий непрерывность первой и второй производных, для чего достаточно использовать сплайн-многочлены третьего порядка (кубические сплайны) [2, 3]. В данной работе предлагается использовать сплайн Акимы, наименее подверженный влиянию выбросов: на отрезках, граничащих с выбросом, практически отсутствуют признаки осцилляции.

Для каждого отрезка изменения х кубическая сплайн-функция записывается в виде:

,

где ; ; и
i = 1, 2,…, n (п –
число узлов).

При известных xi, yi и mi эта формула задает сплайн-аппроксимацию. Если потребовать выполнения условия , то приведенное выше выражение для кубических полиномов-сплайнов приводит к системе линейных уравнений, из которых находятся mi:





Рис. 1. Изменение аналога угловой скорости коромысла батана в зависимости от угла поворота главного вала:
1 – по методике [1]; 2 – по формуле (1); по сплайну Акимы

Однако эта система не полностью определяет mi. Поэтому нужно задать дополнительные граничные условия. Если они заданы

в виде m1 = 0 и mn = 0, получаем нормальные сплайн-функции; при mn = m1 и mn+i = m2 имеем периодические сплайн-функции и т.д. Пусть
в точках a = x1 < x2 < … < xn = b известны значения функции f(x1)…f(xn).

Разделенная разность f(xi-1, xi) является приближением к f'(xi) слева, а является приближением к f'(xi) справа. В методе Акимы эти приближения усредняются с весами, которые тем больше, чем меньше гладкость функции на соседнем отрезке. Окончательная формула для определения параметра di в общей схеме интерполяции кусочно-кубическими функциями имеет вид [3]




где



Используя табличные значения координат профиля кулачка, определяются значения аналога перемещения батана , которые аппроксимируются сплайном Акимы. График аналога угловой скорости качания подбатанного вала, рассчитанный с использованием сплайна Акимы, представлен на рис. 1 (кривая 3). Различие значений с кривой 1 достигает  7%, но кривые 2 и 3 практически совпадают.

Полезное сопротивление в ткацком станке в значительной степени определяется натяжением нитей основы. Величина натяжения на различных этапах технологического цикла существенно меняется. Теоретическое определение натяжения является самостоятельной задачей и несмотря на большое количество предложенных решений до настоящего времени базируется на целом ряде допущений. Для динамического анализа ткацкого станка вполне приемлемы и экспериментальные значения, если они достаточно точно увязаны с циклограммой работы станка, то есть с углом поворота главного вала.


Впервые аппроксимация эмпирической зависимости натяжения основы как функции времени обоснована еще в работах проф. В.А. Гордеева [4]. Им предложена математическая модель в виде ряда Фурье. Однако точность такого разложения напрямую зависит от числа гармоник, которые в свою очередь требуют большого количества экспериментальных точек. М.В. Назарова для решения той же задачи использовала аппроксимацию полиномами Стирлинга, Чебышева, Лагранжа, Бесселя, Ньютона [5]. Однако известно, что полиномиальная интерполяция и аппроксимация не обеспечивают непрерывность производных функции у(х) и может давать значительные погрешности в промежутках между узлами. Кроме того, она плохо приспособлена для экстраполяции и, как правило, не обеспечивает правильное асимптотическое поведение у(x) при изменении аргумента x за пределами интервала интерполяции. Нередко с увеличением числа узлов погрешность такой интерполяции не только не уменьшается, но и начинает расти [3]. Для исключения подобных недостатков вновь можно использовать интерполяцию с помощью сплайна Акимы. На рис. 2 представлены экспериментальная зависимость среднего натяжения нитей основы за период тканеформирования [6] и результаты расчета по аппроксимирующей модели, представленной сплайном Акимы. Сравнение экспериментальных и расчетных значений натяжения показало, что их среднеквадратическое отклонение  равно нулю.



где – экспериментальные значения натяжения основных нитей, сН;

– теоретические значения натяжения основных нитей, сН.

Еще одним, третьим, направлением применения сплайна Акимы может быть увеличение точности динамического анализа машинного агрегата, если моменты инерции и моменты сопротивления заданы таблично малым числом точек (12 или 24). Точность анализа напрямую зависит, если использовать теорию М.З. Коловского [7], от количества гармоник разложения. Для увеличения числа гармоник соответственно должно быть увеличено число положений механизма, что достигается аппроксимацией исходных величин [8].





а




б

Рис. 2. Экспериментальная (а) и расчетная (б)
зависимость натяжения



Выводы

Интерполяция сплайнами Акимы применительно к технологическим процессам ткацкого производства обеспечивает минимальное, практически стремящееся к нулю, отклонение расчетных значений от экспериментальных данных.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основы теории, конструкция и расчет текстильных машин / К. Д. Буданов, А. А. Мартиросов,
Э. А. Попов, А. А. Туваева. – М. : Машиностроение, 1975.

2. Подгорный Ю.И. Исследование и проектирование механизмов технологических машин : монография / Ю. И. Подгорный, Ю. А. Афанасьев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2000.

3. Богачев К.Ю. Методы приближения функций : практикум на ЭВМ / К. Ю. Богачев. – М. : МГУ им. М.В. Ломоносова, 1998.

4. Гордеев В.А. Ткачество / В. А. Гордеев, П. В. Волков. – М. : Лег. и пищ. пром-сть, 1984.

5. Назарова М.В. Эффективность использования различных полиномов при исследовании натяжения нитей по переходам ткацкого производства / М. В. Назарова // Технология текстильной промышленности. – 2007. – № 2.– С. 48–50.

6. Николаев С.Д. Теория процессов, технология и оборудование ткацкого производства / С. Д. Николаев. – М. : Легпромбытиздат, 1995.

7. Коловский М.З. Динамика машин / М. З. Коловский. – Л. : Машиностроение, 1989.

8. Романов В.В. Сравнение типовых методов анализа и синтеза машинного агрегата с методом М.З. Коловского / В. В. Романов, В. А. Лясич, Д. Е. Лопатин // Теория механизмов и машин. – 2009. – №2. Т. 7. – С. 72–75.


SPLINE INTERPOLATION

IN MACHINE AGGREGATE DYNAMIC RESEARCH PROBLEMS


V.V. Romanov, V.A. Lyasich, I.V. Smirnov

Usage results of spline interpolation by a Akima method in problems of modeling of inertia, suggested moments, adduced resistant force moments, thread tension during loom dynamic analysis are adduced.

Dynamic analysis, spline interpolation.


Рекомендована кафедрой технологии машиностроения КГТУ

Поступила 30.03.2010