prosdo.ru
добавить свой файл
1

Модели ИИСС «Уравнения и неравенства»


  1. Координатная окружность (демонстрационная)



Модель демонстрирует определение синуса и косинуса при помощи координатной окружности. Согласно этому определению, если расположить центр окружности радиуса 1 в начале координат и выбрать на этой окружности произвольную точку, то косинусом угла между радиус-вектором, проведённым к этой точке, и осью абсцисс будет абсцисса данной точки, а синусом того же угла – ордината.

Нажмите кнопку Старт. Слева вы увидите, как перемещается точка по координатной окружности, справа – графики синуса (синяя линия) и косинуса (зелёная линия). Кнопки Стоп и Сброс управляют анимацией. Изменить координаты точек можно, перемещая их по координатному полю при помощи мыши. Для этого щёлкните мышью по нужной точке и, не отпуская кнопку мыши, переместите точку в требуемое место.

  1. Решение логарифмических уравнений (демонстрационная)







В интерактивной модели демонстрируются способы решения простейших логарифмических уравнений: функционально-графический, метод потенцирования, метод введения новой переменной.

Нажмите кнопку Старт
, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс – чтобы вернуть анимацию в исходное состояние.

  1. Решение уравнений (тренажер)






Введите в верхнее поле ввода уравнение в виде f (x) = g (x), например, sin x = x2 – 2x + 3. Нажмите кнопку Enter или Решить. Подождите некоторое время. Будет построен график правой и левой частей уравнения, зелёными точками будут отмечены корни, записаны корни уравнения. Чтобы ввести новое уравнение, нажмите кнопку Сброс. Если вы сделаете ошибку при вводе, в нижнем окне появится соответствующее сообщение.

  1. Метод деления отрезка пополам (тренажер)







Интерактивная модель демонстрирует один из наиболее распространенных способов нахождения нулей функции на отрезке (и решения алгебраических уравнений) – метод деления отрезка пополам.

Введите функцию в поле ввода в правом верхнем углу модели. Задайте границы отрезка [a; b], на котором ищутся нули, при помощи полей численного ввода. Нажмите кнопку Сделать шаг. Программа определит, является функция на отрезке [a; b] монотонной и непрерывной. Если функция не является непрерывной, то в окне вывода будет выдано сообщение об этом; вам будет предложено уточнить границы отрезка, на котором ищутся нули. То же самое произойдет, если предполагаемых нулей функции на данном отрезке будет слишком много (примером является поиск нулей функции y = cos x на отрезке [–2; 2]). Продолжайте нажимать кнопку Сделать шаг. Следите на графике функции и в окне вывода за тем, как изменяются границы отрезков, на которых ищутся нули. Через несколько шагов нули будут найдены с точностью до сотых. Кнопка Сброс возвращает модель в исходное состояние.


  1. Решение показательных уравнений



Показательными уравнениями называют уравнения вида где a – положительное число, отличное от 0, и уравнения, сводящиеся к этому виду. В интерактивной модели демонстрируются способы решения простейших показательных уравнений.

Нажмите кнопку Старт, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс – чтобы вернуть анимацию в исходное состояние.

  1. Решение неравенств графическим методом




Введите в верхнее поле ввода неравенство в виде f (x) ? g (x), где знаком «?» обозначена какая-либо из операций сравнения «<», «<=», «>», «>=», например, sin(x)>=2*exp(x). Нажмите кнопку Enter или Решить. Подождите некоторое время. Будет построен график правой и левой частей неравенства, штриховкой по оси абсцисс будет отмечено решение.

В нижней части модели выводятся приблизительные решения с точностью до 0,1.

Чтобы ввести новое неравенство, нажмите кнопку Сброс. Если вы сделаете ошибку при вводе, в нижнем окне появится соответствующее сообщение.

  1. Метод интервалов


Интерактивная модель демонстрирует один из методов решения дробно-рациональных неравенств – метод интервалов. Общий вид левой части неравенства записан в левой части модели. В правой части неравенства находится 0. Между этими частями могут стоять знаки «>», «<», «=», «≥», «≤»; выбор нужного знака осуществляется при помощи соответствующего переключателя. Задайте параметры C, ai, bi, αi, βi (для 1 ≤ i ≤ 3).



Графическая иллюстрация к методу интервалов появится в верхней части модели. Точки, входящие в решение неравенства, будут выделены зелёным цветом. Формульную запись решения можно увидеть в окне вывода в нижней части модели.



  1. Колебания в электрической цепи.



Колебания в электрической цепи происходят по закону синуса или косинуса. Так, в цепи изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обладках конденсатора изменяется по закону q = CU + (q0 – CU) cos ωt, где C – емкость конденсатора, U – напряжение на источнике тока, L – индуктивность катушки, – угловая частота колебаний в цепи.

Установите параметры колебательного контура и нажмите Старт. В левой части модели начнут строиться графики q (t) и I (t). Текущие значения t, q и I появятся в нижней части окна вывода. Кнопка Стоп приостанавливает анимацию, кнопка Сброс возвращает модель в исходное состояние.

  1. Функция синус



Интерактивная модель демонстрирует график тригонометрической функции y = A sin (ax + b) + B. Введите значения коэффициентов функции в численные поля ввода и нажмите кнопку Построить. На экране появится синусоида.

Можно задать координату некоторой точки из области определения функции (в единицах π). На экране появится значение функции в этой точке.

  1. Функция косинус


Интерактивная модель демонстрирует график тригонометрической функции y = A cos (ax + b) + B. Введите значения коэффициентов функции в численные поля ввода и нажмите кнопку Построить. На экране появится косинусоида.


Можно задать координату некоторой точки из области определения функции (в единицах π). На экране появится значение функции в этой точке.


  1. Простейшие тригонометрические уравнения



Модель позволяет в интерактивном режиме решать простейшие тригонометрические уравнения. Введите в верхнее поле ввода уравнение вида A f (ax + b) = B (например, 2*tg(3*x+4)=0.5) и нажмите кнопку Решить. Через некоторое время в среднем поле появится ответ.

В качестве функции f можно вводить sin, cos, tg и ctg. Если вы допустили ошибку при вводе, то в нижнем поле появится сообщение об ошибке. Чтобы очистить поле ввода, нажмите Сброс.

  1. Решение тригонометрических неравенств



Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, в которые входят тригонометрические функции и их композиции. Решениями тригонометрических неравенств являются, как правило, серии интервалов, отстоящих друг от друга на некоторое число. В интерактивном режиме выбирается, какая тригонометрическая функция входит в неравенство, и задаются коэффициенты. Программа автоматически находит решение неравенства и рисует его графически.

Чтобы перейти в демонстрационный режим, щёлкните по кнопке с кинопроектором. Нажмите кнопку Старт, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс – чтобы вернуть анимацию в исходное состояние. Для возвращения в интерактивный режим нажмите на кнопку с изображением руки.

  1. Тригонометр


Модель демонстрирует определение основных тригонометрических функций при помощи координатной окружности. Также, модель позволяет в интерактивном режиме решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.


Для демонстрации значений основных тригонометрических функций выберите режим «Значения основных тригонометрических функций». С помощью выпадающего списка выберите необходимую тригонометрическую функцию. Угол можно задавать тремя способами:

1. Вбивать значение угла в поле для ввода.

2. Изменять значение угла в поле для ввода с помощью.

3. Изменить координату точки, перемещая их по координатному полю при помощи мыши.

В режиме «Решение тригонометрических уравнений/неравенств» можно выбирать основные тригонометрические функции для решения простейших уравнений и неравенств, а также вид уравнения/неравенства. Предусмотрено решение уравнений/неравенств для табличных значений тригонометрических функций.


  1. Графер (виртуальный практикум)




Программа «Графер» предназначена для построения и преобразования графиков функций различного вида. Она обеспечивает демонстрацию связи формулы и графика функций. Для школьников использование модели облегчает изучение графиков функций, обеспечивает наглядность и простоту в использовании. Для преподавателей модель может служить хорошим средством для подготовки к занятиям, для создания наглядных пособий и так далее.


Построение графиков функций можно производить в декартовой и полярной системах координат. Пользователь может самостоятельно задать функцию вида y = f (x), параметрического вида y = f (t), x = g (t) или полярную функцию r = r (t). Имеется набор «стандартных» функций: степенных, тригонометрических и гиперболических. К графикам функций можно строить касательные.

Модель даёт возможность производить над функциями и их графиками различные преобразования: смещение графика функций относительно координатных осей, сжатие, растяжение, зеркальное отображение относительно осей координат. Можно производить взаимные преобразования нескольких функций, такие как сложение функций, умножение и деление одной функции на другую, преобразование вида f (g (x)). При этом соответствующие преобразования одновременно влияют как на графическое изображение функции, так и на её аналитический вид.


Имеются различного рода графические возможности, предназначенные для оформления графиков функций, для придания им более наглядного вида. Можно ставить надписи, отмечать точки, отрезки, интервалы и многое другое.

Так как для построения функций используются численные, а не аналитические методы, возможны некоторые неточности построения в сложных критических точках.

Инструкция для ученика.


  • Введение

  • Пользовательский интерфейс

  • Практическая работа

    • Как построить график функции

    • Как изменить параметры графика функции

    • Построение элементарных графиков функций

    • Как изменить масштаб координатной плоскости

    • Как удалить, сохранить данные, извлечь сохранённые данные

    • Преобразования графиков и их функций

  • Как добавить вспомогательную информацию

    • Схематические надписи и рисунки

    • Формулы

    • Кнопки «На задний план» и «На передний план»

  • Дополнительные графические возможности Графера