prosdo.ru
добавить свой файл
1

Урок 100,101


19.01.

Разложение на простые множители.

1. Проверка д/з: вопросы? Ответы в №666 выписать на доске (см. ниже).

№1317 [, но a и bсоседние простые числа, поэтому оно простым быть не может. Следовательно, оно составное.]

2. Новый материал. Интересно, что до сих пор неизвестно, сколько существует пар соседних нечетных простых чисел, таких как 11 и 13; 17 и 19 и т. д. До сих пор также не найдена общая формула простых чисел, но зато доказано, что простых чисел – бесконечное количество.

Пусть простых чисел – не бесконечно, тогда среди них существует наибольшее число, которое мы обозначим р. Рассмотрим число n = 2×3×5×...×р + 1, то есть, к произведению всех простых чисел до р включительно добавлена единица. Это число не может быть составным, так как при делении на любое простое число дает в остатке 1, а значит оно – простое. Но n > p, значит р – не является наибольшим простым числом, то есть мы получили противоречие, что и означает, что простых чисел – бесконечное количество.

Рассмотрим более подробно задачи, связанные с поиском количества простых делителей числа и количества всех его делителей.

3. Упражнения. 1) Какие числа имеют: а) ровно один делитель; б) ровно два делителя; в) ровно три делителя? (устно). [1; р; р2, где р – простое.]

Сформулируем и запишем закономерность: число p
n, где р – простое, имеет n+1 делитель.

2) Подсчитайте двумя способами количество всех делителей числа 72

(письменно в тетрадях с фронтальным обсуждением).

[I – непосредственный просчет; II – 72 = 23×32. Число 23 имеет четыре делителя, а число 32 – три. Каждый делитель числа 72 может быть получен как произведение какого-либо делителя 23 и какого-либо делителя 32. Количество возможных комбинаций равно: 4×3 = 12.]

3) Подсчитайте количество всех делителей чисел 10000 и 11440, которые вы раскладывали на множители в д/з (устно с записью результата на доске). [162 = 2×34; 2×5 = 10 делителей; 10000 = 24×54; 5×5 = 25 делителей; 4608 = 29×32; 10×3 = 30 делителей; 8136 = 23×33×113; 4×4×2 = 32 делителя; 11440 = 24×5×11×13; 5×2×2×2 = 40 делителей; 455625 = 36×54; 7×5 = 35 делителей.]

Сформулируем и запишем общее правило: для того, чтобы подсчитать количество делителей числа можно: 1) разложить это число на простые множители; 2) перемножить увеличенные на единицу показатели степеней всех простых множителей, вошедших в его разложение.

4) Дано число а, разложенное на простые множители: . Какими должны быть показатели степеней для того, чтобы число а являлось а) квадратом6 б) кубом какого - нибудь натурального числа? (общий вид разложения и результаты – записать в тетради, рассуждения – устно). [а) четными
; б) кратными трем.]

5) У каких чисел количество всех делителей нечетно?

а) Докажите, что число имеет нечетное количество делителей т. и т. т., когда оно является квадратом какого-либо натурального числа;

б) Докажите, что если число является квадратом какого-либо натурального числа, то сумма всех его делителей является нечетным числом. (утверждения – записать в тетради, доказательства – устно). [а) Рассмотрим показатели степеней в разложении этого числа на простые множители и увеличим каждое из них на единицу. Произведение полученных чисел будет нечетным т. и т. т., когда каждое из этих чисел нечетно, а это равносильно тому, что каждый из рассмотренных показателей – четный, то есть исходное число – точный квадрат. б) Так как данное число является точным квадратом, то количество его нечетных делителей – нечетно (см. пункт а), а количество четных делителей не влияет на четность суммы.]


6) Докажите, что сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может являться квадратом целого числа (письменно на доске и в тетрадях).

[, то есть, если это сумма является квадратом целого числа, то a + b = 2×11, что невозможно.]

Домашнее задание: стр. 121, №657; 2) Найдите и запишите все двузначные числа, которые раскладываются на три различных простых множителя.

3) Найдите количество всех делителей числа 3240 и количество нулей, которыми оканчивается десятичная запись числа 32!.


4. Самостоятельная работа (в тетрадях, 15 минут).

Д/м: №119, №127 (а также, у второго числа найти количество всех делителей).

Дополнительное задание. Опишите все числа, сумма всех делителей которых является нечетным числом.