prosdo.ru 1

Урок 82,83


15.12.

Делители и кратные. Деление с остатком.

1. Проверка д/з: 1) Вопросы по заданиям из учебника?

2) Назовите числа, равные сумме всех своих делителей. [6; 28; 496]. Такие числа называются совершенными.

  1. По таблице: в последнем столбце – два минуса; остальные ±. Докажите, что если 120 не кратно хотя бы одному из данных чисел, то оно не кратно и их произведению.

Изменятся ли полученные нами результаты, если взять не 6 и 120, а другие числа? Таким образом в этой таблице получены основные свойства делимости.

2. Устно: 1) Назовите несколько делителей числа 100 и несколько чисел, ему кратных. Какие числа называются делителями натурального числа а? Какие числа называются кратными натуральному числу а?

2) Что можно сказать о натуральных числах m и n, если известно, что m одновременно является как делителем n, так и ему кратным? Докажите. Почему существенно условие, что эти числа натуральные?

3) Верно ли, что, если а делится на b, а b делится на с, то а делится на с? Приведите примеры и обоснуйте. Рассказать о свойстве транзитивности, привести примеры (равенство чисел, параллельность прямых).

4) Какие числа называются: а) четными? б) нечетными?

5) Разделите с остатком: 29 на 6; 6 на 29. Как это записать?

3. Письменно: Решите задачи (на доске и в тетрадях):

1) Не вычисляя суммы, докажите, что число а = 1 + 2 + ... + 1998 + 1999 кратно числу 1999.

2) Если из задуманного натурального числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если из него вычесть 8 – то на 8, а если 9 – то на 9. Какое наименьшее число могло быть задумано? [7×8×9 = 504].


3) Маугли попросил своих друзей - обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали орехов поровну и понесли их Маугли, но по дороге поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате, Маугли получил только 35 орехов, причем каждая обезьяна принесла ему больше одного ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна?

[Так как обезьяны собрали орехов поровну и бросили поровну, то поровну и принесли. 35 = 5×7, следовательно возможны два случая: а) 5 обезьян принесли по 7 орехов; бросили – по 4 ореха, значит каждая собрала 7 + 4 = 11 орехов; б) 7 обезьян принесли по 5 орехов; бросили – по 6 орехов, значит каждая собрала 5 + 6 = 11 орехов.]

4) В некотором царстве была тюрьма, в которой было 100 одиночных камер с узниками. Замки в дверях каждой камеры были устроены следующим образом: при одном повороте ключа камера открывалась, при следующем повороте – закрывалась, при следующем – опять открывалась, и т. д. Однажды, войско этого царства вело сражение с неприятелем, и царю показалось, что он одерживает победу. На радостях, он послал гонца выпустить всех заключенных из тюрьмы, то есть повернуть ключ в каждой камере. Как только гонец ускакал, военное счастье переменилось, и исход сражения стал неясен. Тогда царь послал другого гонца, чтобы тот повернул ключи в каждой второй камере, и тем самым оставил обитателей этих камер в заключении. Тем временем, ход сражения опять переменился в лучшую для царя сторону, и царь посылает следующего гонца, чтобы тот сделал по одному обороту ключа в каждой третьей камере. Ход сражения постоянно изменялся, и царь посылал гонца за гонцом. Таким образом было сделано по одному обороту ключа в каждой четвертой камере, затем в каждой пятой, и так далее. Последний раз, выиграв сражение, царь послал сотого гонца, который повернул ключи в каждой сотой камере. В результате, узники, камеры которых оказались открытыми, вышли на свободу. Сколько узников вышло на свободу?

[ 10; из камер, номер которых является квадратом натурального числа].


4. Новый материал. Рассмотрим два произвольных натуральных числа а и b и разделим а на b, то есть а будет делимым, а b – делителем. Пусть частное равно q, а остаток r, тогда: а = bq + r, причем q может быть как натуральным числом, так и нулем. Любым ли числом может быть r?

[r – натуральное число, причем 0 ó r < b.] Что можно сказать о числах а и b, если r = 0? То есть, деление нацело – частный случай деления с остатком.

5. Упражнения. 1) стр. 113, №606 (3) (письменно в тетрадях, запись ответа в строчку на доске);

2) Найдите наибольшее четырехзначное число, которое кратно числу 31; [9999 = 31×322 + 17; следовательно, искомое число: 9999 – 17 = 9982]

3) Запишите формулу для вычисления всех натуральных чисел, которые:

а) При делении на 5 дают остаток 0; [а = 5n, где n – натуральное число]

б) при делении на 5 дают остаток 3; [разобрать два способа; а = 5n – 2, где n – натуральное число]

в) при делении на 11 дают остаток 19; [не существуют]

г) являются четными;

д) являются нечетными.

4) При делении некоторого числа на 13 и на 15 получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе – без остатка. Найдите это число. [13n + 8 = 15n; n = 4; 60]

5) Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

[а = 7k + k; a =8k, где 0 < k < 7; 8; 16; 24; 32; 40; 48]

6) Числа а и b имеют одинаковый остаток от деления на 100. Докажите, что их разность кратна 100. Обобщите полученный результат.

Домашнее задание: №606 (2, 4) – ответы записать в строчку; №619; Найдите наименьшее пятизначное число, которое при делении на 130 дает в остатке 17.