prosdo.ru
добавить свой файл
1


1. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ


Экзаменуемый должен уметь:


  1. Выполнять арифметические действия над числами, а также тождественные преобразования многочленов, дробно-рациональных выражений, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции.

  2. Строить графики линейной, степенной, квадратичной, показательной, логарифмической и тригонометрической функций.

  3. Решать уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств первой и второй степени, а также содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

  4. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.

  5. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.

  6. Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач.

  7. Пользоваться понятием производной при исследовании функций и построении их графиков.

  8. Пользоваться понятием интеграла при вычислении площадей плоских фигур и вычислении объемов многогранников и тел вращения.


II. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ФАКТЫ


Арифметика, алгебра и начала анализа


  1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

  2. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление.

  3. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.

  4. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

  5. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
  6. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.


  7. Логарифмы и их свойства.

  8. Одночлен и многочлен.

  9. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

  10. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значений функции.

  11. График функции. Возрастание и убывание функции, четность, нечетность, периодичность.

  12. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции, необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

  13. Определения и основные свойства функций: линейной, квадратичной , степенной , показательной , логарифмической, тригонометрических sin x, cos x, tg x, ctg x, арифметического корня .

  14. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

  15. Неравенства. Понятие о равносильных неравенствах. Решения неравенства.

  16. Системы уравнений и неравенств. Решение систем.

  17. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула -го члена и суммы первых членов арифметической прогрессии. Формула -го члена и суммы первых членов геометрической прогрессии.
  18. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).


  19. Преобразование в произведение сумм .

  20. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.

  21. Производные функций.




Геометрия


  1. Прямая, луч, отрезок, ломаная. Длина отрезка, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые. Окружность, круг.

  2. Примеры преобразования фигур, виды симметрий. Преобразования подобия и его свойства.

  3. Векторы, операции над векторами.

  4. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

  5. Треугольник, его медиана, биссектриса, высота. Средняя линия треугольника. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

  6. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

  7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

  8. Центральные и вписанные углы.

  9. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

  10. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

  11. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

  12. Плоскость. Параллельность прямой и плоскости. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

  13. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

  14. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

  15. Многогранник. Его вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы, пирамида. Правильная призма и правильная пирамида, параллелепипед, прямой параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, куб.
  16. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.


17. Формула площади поверхности и объема призмы.

  1. Формула площади поверхности и объема пирамиды.

  2. Формула площади поверхности и объема цилиндра.

  3. Формула площади поверхности и объема конуса.

  4. Формула объема шара.

  5. Формула площади сферы.


III. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ


Алгебра и начала анализа


  1. Свойства функции y=ax+b и ее график.

  2. Свойства функции y=k/x и ее график.

  3. Свойства функции y=ax2+bx+c и ее график.

  4. Формула корней квадратного уравнения.

  5. Теорема Виета (прямая и обратная).

  6. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

  7. Свойства числовых неравенств.

  8. Логарифм произведения, степени, частного.

  9. Определение и свойства функций sin x, cos x, их графики.

  10. Определение и свойства функции tg x и ее график.

  11. Определение и свойства функции сtg x и ее график

  12. Решение уравнений вида sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a.

  13. Формулы приведения.

  14. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

  15. Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов.

  16. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента.

  17. Производная суммы двух функций.

  18. Производная произведения двух функций.

  19. Производная частного двух функций.


Геометрия


  1. Свойства равнобедренного треугольника.

  2. Свойства точек, равноудаленых от концов отрезка.

  3. Признаки параллельности прямых.

  4. Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.

  5. Свойства средних линий треугольника и трапеции.

  6. Признаки параллелограмма, его свойства.


  7. Окружность, вписанная в треугольник.

  8. Окружность, описанная около треугольника.

  9. Свойство касательной к окружности.

  10. Измерение угла, вписанного в окружность.

  11. Признаки подобия треугольников.

  12. Теорема Пифагора.

  13. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

  14. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.

  15. Признак параллельности прямой и плоскости.

  16. Признак параллельности плоскостей.

  17. Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.

  18. Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.

  19. Теорема о трех перпендикулярах.

  20. Признак перпендикулярности двух плоскостей.


Критерии оценок экзаменационной работы.


В одном варианте экзаменационной работы содержится не менее пяти заданий. Приемная комиссия оценивает выполненные работы по 100 бальной системе. Если работа состоит из пяти заданий, то ориентировочно за правильно решенное первое задание абитуриент получает 10 баллов, за второе – 15 баллов, за третье - 20 баллов, за четвертое - 25 баллов, за пятое - 30 баллов. Коррективы в критерии оценивания могут быть внесены после проведения основного этапа ЕГЭ по математике.

Решение задачи считается правильно выполненным, если указан не только верный ответ задания, но и приведены все необходимые выкладки, доказательства и обоснования, приводящие к полученному правильному ответу.

Комиссия имеет право повысить оценку за оригинальность решения отдельных задач.


Ниже приводятся варианты экзаменационных работ прошлых лет на различные факультеты. В скобках указаны ответы. Наиболее трудные задачи снабжены указаниями или краткими решениями. На выполнение работы отводится 4 часа (240 минут).


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на математический факультет (специальность – математика)



1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а потому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод? (360 машин)


2. Решите уравнение ()

3. Решите неравенства ,

)

4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите объем пирамиды и площадь сферы, описанной около пирамиды.


5. К графику функции проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на экономический факультет



1. Решите уравнения ,

2. Магазин, купив два предмета за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. Сколько рублей магазин заплатил за каждый предмет, если на первом прибыли было получено 25%, а на втором 50%? (90 руб, 135 руб)



3. На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках М и К. Найдите площадь треугольника АМК, если площадь треугольника АВС равна 7, а .


4. Решите неравенство

5. К графику функции проведены касательные, параллельные прямой . Найдите абсциссы точек касания.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на факультет управления и предпринимательства


1. Решите уравнение


2. Решите неравенство

3. К графику функции проведены касательные, проходящие через точку . Найдите площадь четырехугольника, образованного этими касательными и осями координат.



4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2. (981)


5. Решите неравенство


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на факультет психологии (специальность – «психология»)



1. По течению реки моторная лодка проходит 40 км за 2 ч, а против течения –
35 км за 2 ч 30 мин. Найдите скорость течения реки. (3 км/ч)


2. Решите уравнение


3. Решите неравенство


4. Решите уравнение ()


5. В треугольнике АВС АВ=ВС, , АЕ – биссектриса, ВЕ =2а. Найдите площадь треугольника АВС.


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на физический факультет (специальность – «физика»)



1. Решите уравнение


2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и .


3. Решите неравенство


4. Решите уравнение


5. Хорды окружности AC и BD пересекаются. Найдите угол CAD, если

ABD=30, ADС=50.


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на педагогический факультет



1. Сумма двух чисел равна 4, а сумма их квадратов . Найдите эти числа.


2. Решите уравнение


3. Решите уравнение . Укажите корни уравнения, удовлетворяющие условию .

4. Решите неравенство


5. Найдите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и радиусом вписанной в него окружности, равным 1. (6)


Экзаменационная работа по математике для поступающих
на геолого-географический факультет (география)



1. Решите уравнение


2. Найдите два числа, сумма которых равна 16, а разность – 3.


3. Решите уравнение ,


  1. Меньший катет прямоугольного треугольника равен 4. Окружность радиуса 3 с центром на гипотенузе касается большего катета и проходит через вершину противоположного угла. Найдите гипотенузу. (12)

5. Найдите область определения функции


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на математический факультет (заочное отделение)

1. Решите систему уравнений (-1,-4), (4,1)

2. Решите уравнение


3. Решите неравенство

4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен . Найдите объем пирамиды и расстояние от центра основания до боковой грани.


5. Напишите уравнения касательных к графику функции , проходящих через точку. Сделайте схематический чертеж.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на математический факультет (математика и информатика)


  1. Решите уравнения ,



  1. К графику функции в точке М (1, 2) проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенной между осями координат. Сделайте схематический чертеж.



  1. Решите неравенство




4. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Указание. Уравнение равносильно системе, которая будет иметь единственное решение, когда графики функций и пересекаются в единственной точке. График первой функции представляет собой “усеченную” параболу (часть параболы, которая находится над осью ОХ). График второй функции – множество всех прямых (за исключением оси OY), проходящих через точку (0, -1). При прямая касается “усеченной” параболы, а при пересекает ее в единственной точке.

5. Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса 5, пересекающая сторону ВС в точке М. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и С, если АВ=6, АС=8.


Указание. Используйте теорему синусов для треугольников AMB и AMC.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на экономический факультет


  1. На двух станках было изготовлено 100 деталей. После модернизации производительность первого станка возросла на 40%, а второго – на 20% и на них за это же время изготовили 132 детали. Сколько деталей было изготовлено на каждом станке первоначально? (60 и 40)




  1. Решите неравенства ,

  2. Решите уравнение



4. Четырехугольник можно вписать в окружность. О – точка

пересечения диагоналей МК и . Площади треугольников и

равны 8 и 2 соответственно. Найдите , если . (ON=4)

Указание. Углы KMN и LNK равны, поскольку опираются на равные дуги. Следовательно, треугольники MNK и KON подобны. А отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов соответственных сторон.



5. При каких значениях функция

возрастает на всей области определения?



Указание. . Функция будет возрастать при . Если обозначить , то условие равносильно тому, что парабола будет на отрезке расположена не ниже оси (Ot). Если абсцисса , вершины параболы меньше -1, то парабола будет не ниже оси (Ot) при , т.е. параметр находится из системы

, решением которой будет промежуток . Аналогично, решая системы , , получим еще два промежутка.


Экзаменационная работа по математике

для поступающих на факультет управления и предпринимательства



1. Решите уравнение


2. Решите неравенство .


  1. К графику функции проведена касательная в точке с абсциссой . Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат. (S=4)


4. При каких значениях a уравнение имеет решения?

Указание. Обозначим , тогда , где . Уравнение будет иметь решения, когда будет изменяться от наименьшего до наибольшего значения функции на отрезке . Остается найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке.

5. В равнобедренную трапецию () вписана окружность с центром О . Найдите радиус окружности, если



Указание. AO и DO являются биссектрисами углов A и D. Так как сумма этих углов равна , то сумма их половинок будет . Следовательно, треугольник AOD прямоугольный и высота этого треугольника (опущенная на гипотенузу) равна радиусу окружности.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на педагогический факультет


  1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а потому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод? (360)


2. Решите уравнение


3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна. Один из катетов составляет 60% от другого. Найдите катеты и биссектрису прямого угла. (3, 5, )

4. Решите уравнение



5. При каких натуральных неравенство

выполняется при всех ? (n=1,2,3,4,5,6,7)


Указание. Неравенство будет выполняться при всех , если дискриминант квадратного трехчлена будет отрицательным .


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на математический факультет

(математика)


1. Решите уравнение


2. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против течения 30 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна
3 км / час, а на весь путь затрачено 6 часов 40 минут. (9км/ч)


3. Решите уравнение


4. Решите неравенство


5. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки 10 см и 6 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 10 см больше другого. (15, 25)


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на геолого-географический факультет


1. В двух мешках находится 129 кг муки. Во втором мешке муки на 15% больше, чем в первом. Сколько муки в каждом мешке? (60, 69)


2. Решите неравенство (0

3. Решите уравнение и укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .



4. В равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 6 и боковой стороной 3 найдите длину диагонали.


5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2. (98910)


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на математический факультет (заочное отделение)


  1. Решите уравнение (х=0,25)




  1. Решите уравнение (х=5)




  1. Решите уравнение




  1. Решите неравенство


5. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите объем пирамиды и площадь сферы, описанной около пирамиды.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на экономический факультет (заочное отделение)


1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а потому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод? (360)

2. Решите уравнение



3. Решите уравнение


4. Решите неравенство


5. В треугольнике АВС АВ=ВС, , АЕ – биссектриса, ВЕ =2а. Найдите площадь треугольника АВС.


Экзаменационная работа по математике для поступающих

на факультет управления и предпринимательства (заочное отделение)


1. Решите уравнение


2. В двух мешках находится 110 кг сахара. Во втором мешке сахара на 20% больше чем в первом. Сколько сахара в каждом мешке? (50, 60)


3. Решите уравнение


4. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найдите биссектрису треугольника, проходящую через вершину прямого угла.


  1. Решите неравенство



Билеты к вступительному экзамену по математике

для поступающих на педагогический факультет

(заочное отделение)


Билет № 1
  1. Свойства функции и ее график.


  2. Признак перпендикулярности двух плоскостей.


Билет № 2

  1. Свойства функции и ее график.

  2. Теорема о трех перпендикулярах.


Билет № 3

  1. Свойства функции и ее график.

  2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.


Билет № 4

  1. Формула корней квадратного уравнения.

  2. Формула расстояния между двумя точками на плоскости. Уравнение окружности.


Билет № 5

  1. Теорема Виета (прямая и обратная).

  2. Измерение угла, вписанного в окружность.


Билет № 6

  1. Определение и свойства функции и ее график.

  2. Признак параллельности плоскостей.


Билет № 7

  1. Свойства числовых неравенств.

  2. Признак параллельности прямой и плоскости.


Билет № 8

  1. Логарифм произведения, степени, частного.

  2. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.


Билет № 9

  1. Определение и свойства функции их графики.

  2. Сумма углов треугольника, сумма внешних углов выпуклого многоугольника.


Билет № 10

  1. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

  2. Теорема Пифагора.


Билет № 11

  1. Решение уравнений вида .
  2. Признаки параллельности прямых.



Билет № 12

  1. Формулы приведения.

  2. Теорема о трех перпендикулярах.


Билет № 13

  1. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

  2. Признаки подобия треугольников.


Билет № 14

  1. Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов.

  2. Измерение угла, вписанного в окружность.


Билет № 15

  1. Тригонометрические функции одного двойного и половинного аргумента.

  2. Свойство касательной к окружности.


Билет № 16

  1. Производная суммы двух функций.

  2. Окружность, описанная около треугольника.


Билет № 17

  1. Производная произведения двух функций.

  2. Окружность, вписанная в треугольник.


Билет № 18

  1. Теорема Пифагора.

  2. Производная частного двух функций.


Билет № 19

  1. Теорема о параллельности и перпендикулярности плоскостей.

  2. Признаки параллелограмма, его свойства.


Билет № 20

  1. Решение уравнений вида .

  2. Свойства средних линий треугольника и трапеции.


Билет № 21

  1. Теорема Виета (прямая и обратная).

  2. Сумма углов треугольника, сумма внешних углов выпуклого многоугольника.



Билет № 22


  1. Формулы приведения.

  2. Признаки параллельности прямых.


Билет № 23

  1. Логарифм произведения, степени, частного.

  2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.


Примерный перечень задач, предлагавшихся на собеседовании (для лиц с высшим образованием)


Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство .


Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство

.

Решить неравенство


Решить неравенство


Решить неравенство

.

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7см, 4см, 3см.


На базу привезли 96т. капусты. 20% всей капусты отправили в магазин. Сколько капусты осталось?


Бригада вспахала 24га земли, что составило 15% площади всего поля. Какова площадь поля?


Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13см. Один из катетов на 7см. больше другого. Найти катеты прямоугольного треугольника.

Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найти эти числа.


Зарплата служащего составляла 2000р. Затем зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%. Сколько стал получать служащий?


Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 20. Найти больший из этих углов.


Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26см, а его катеты относятся как 5:12. Найти больший катет треугольника.


Средняя линия треугольника на 6см. короче той стороны треугольника, которой она параллельна. Найти эту сторону треугольника.


Решить неравенство


Решить неравенство


Решите уравнение.


Решите уравнение.


Решите уравнение.

Решите уравнение.


Решите уравнение.


Решите уравнение.

Решите уравнение.



Решите уравнение.


Решите уравнение.


Решите уравнение.


Решите уравнение .


Решите уравнение.


Решите уравнение.

Примечание. Программа вступительных экзаменов по математике ориентирована на программу общеобразовательных классов, хотя уровень заданий выше среднего. Хотелось бы предостеречь абитуриентов от типично допускаемых ошибок. Так, при решении уравнений часто не отделяются посторонние корни, особенно в иррациональных уравнениях, где они могут входить и в область определения. И, наоборот, при сокращении или умножении на выражение с неизвестным не рассматривается возможность равенства его нулю, в результате чего могут произойти потери корней, а при переходе к новому основанию логарифмов не рассматривается возможность равенства его единице. При решении неравенства умножали или делили на выражение с переменной, хотя оно могло принимать и положительные, и отрицательные значения. В частности, отбрасывали знаменатель, содержащий переменную и не имеющий постоянного знака, а также возводили в квадрат неравенство, части которого могли принимать или имели отрицательные значения. В стереометрических задачах, где дан угол между плоскостями, многие поступающие указывали его наугад, вместо того чтобы обоснованно найти линейный угол. Нередко допускались утверждения без логического их обоснования. Следует иметь в виду, что необязательно описывать свои действия, но необходимо обосновывать свои утверждения. Многие неплохие работы были испорчены тривиальными ошибками, сделанными по невнимательности. Советуем абитуриентам активнее использовать самоконтроль по ходу решения и тщательную самопроверку законченной части работы.